Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 95

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 113 >> Следующая

oo
+ алгебры si (2, C),
*(?)-( 1 я)> (5'202a) в котором мы отождествляем коэффициенты при Л/, е/,
ff.
Я?_/ -+НХ~21, (5.202Ь)
ЕС''~+EX~2l+l, (5.202с)
FC1 -+FX~2!~\ (5.202d)
Используем это отождествление, чтобы приписать новые веса Я, Е, F, % в
левой части при условии, что в правой части веса таковы: W(H)= W(E)= W(F)
= 0, W(X)=1. Ясно, что веса должны совпадать с (5.201с). И не
удивительно, что существует
изоморфизм между двумя элементами si(2, С), даже несмотря
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
275
на то, что базисные векторы и градуирующий параметр имеют другие веса.
Но как это отличие может повлиять на динамику? Дело в том, что разные
градуировки порождают различные разложения алгебры. В первой градуировке
члены h0H, е0Е, f0F все имеют один вес, именно нуль, и поэтому приписаны
к N. Они также принадлежали пространству N* = KL, которое было фазовым
пространством. Во второй градуировке члены воЕ и f0F принадлежат разным
подалгебрам, первый имеет вес единица и принадлежит N, в то время как
последний имеет вес -1 и поэтому приписан к К- Теперь вспомним, что это в
точности разложение, использованное в третьем примере в конце разд. 5с, а
именно: -м
N = Yj (h/H + ejE + fjF) + h0H + e0E, M произвольно,
К = S (h,H + e,E + f,F) r' + foF.
l
Заметим, что все члены в N имеют веса, большие или равные нулю; члены в К
имеют веса, меньшие или равные -1. Элемент общего вида, принадлежащий
фазовому пространству К1,
Q = h0H + f0F + S (ЛУЯ + е,Е + f,F) С1,
может быть записан в более подходящей форме"
оо оо
Q - hjZ2j + ~2 (- // + ei+1) ^2/+i +
/=1 /=1
оо
+ + (5.203)
l=i
В (5.203)
22/ = ЯГУ.
^2/+1 = (-^ + |)ГУ.
^/+.=(/ + f) S_/.
а нижние индексы обозначают обратные веса каждого члена. Читатель также
вспомнит, что в разд. 5с (iii) мы брали Л0 = 0, -'fo - ei = 1, и этот
выбор был согласован с введением временных потоков.
276
Глава 5
В то время как первая градуировка естественно приводит к семейству
нелинейных уравнений Шрёдингера (НУШ), вторая градуировка столь же
естественно приводит к семействам КдФ и мКдФ. Я сознательно употребляю
слово "естественно". Семейство НУШ, конечно, содержит в себе семейства
КдФ и мКдФ, но, чтобы их выделить, надо налагать ограничения на фазовое
пространство (fi = -1 для КдФ или fi = для мКдФ). Во второй градуировке
эти уравнения появляются без наложения каких-либо связей. Единственная
наложенная нами связь (которая выглядит несколько произвольно) - это
выбор ho = О, аналогичный выбору h0 = -г, е0 = /о = 0 в уравнениях,
связанных с первой градуировкой. Этот сравнительно небольшой произвол
может быть устранен, если использовать фазовое пространство е + К1-
вместо КК где е - отмеченный элемент, выбранный (с некоторыми
ограничениями) в двойственном к К пространстве К*. В разделах 5i, 5j мы
еще встретимся с этой идеей.
В качестве заключительного замечания к этому разделу мы упомянем, что все
независимые способы градуировки алгебры петель si (2, С) определяются
автоморфизмами si (2, С) конечного порядка. Автоморфизм а конечного
порядка есть отображение на алгебре, сохраняющее скобку Ли, т. е. [а(А),
а(У)] = = а([А, У]), X, Уеэ1(2, С), такое что ат равняется единице при
некотором целом т. Все такие отображения суть преобразования подобия а{Х)
- аХа~х для некоторого а в si(2, С), ат =/. Для si (2, С) заметьте, что
при а - Н а действует как линейное преобразование на пространстве Н, Е, F
и разбивает его на два подпространства а(Н) = Н, о(Е, F) = (-Е, ¦-F).
Заметьте, что в (5.203) элементы Н и Е, F появляются как соответственно
четные и нечетные степени взвешивания.
51. Вторая гамильтонова структура. Я начну с напоминания читателю, что
гамильтонова структура, введенная в начале разд. 5с, и вариационная
гамильтонова структура, введенная в разд. ЗЬ и с помощью (5.56), (5.57) в
конце разд. 5с, совершенно различны. Вспомните вариационную гамильтонову
структуру, введенную в разд. ЗЬ для иерархии КдФ, а именно
<5-204>
где N и М задаются (3.6). Две симплектические структуры N и М локальны
(хотя также вырождены) в том смысле, что применение любой из них к
элементу фазового пространства (т. е. к элементу дифференциальной
алгебры, содержащей q и все
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
277
производные q по л:) не выводит за пределы этого фазового пространства. С
другой стороны, вариационная гамильтонова структура для иерархии АКНС,
оказывается, не допускает введения двух локальных структур. В разд. 5d мы
показали, что (q = eu r = fi)
и в [75] было показано, что это может быть записано как J V Нп, где
и Нп является интегралом движения, пропорциональным коэффициенту при в
асимптотическом разложении 1па(?) вблизи ? = оо (см. разд. 5f(i)).
Оператор L был выписан в разд. 5d, и хотя (5.205) можно записать в форме
но симплектические операторы JL, JL2 и т. д. более не являются
локальными, они выводят нас за пределы исходного фазового
туры состоит из <7, г и юизводных всех порядков по х.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed