Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
фундаментального решения для набора уравнений V^ft = Qlft)K, он должен
быть независим от всех времен tk- Выбор d = - 1 делает асимптотическое
разложение для V подобным асимптотическому разложению для V, за
исключением множителя 2i(? - а) в первом столбце. Итак, в результате
применения
( -2/? + 2/а - е{ ~{а) еЛ
г ' , J (5Л84)
V ига=^
к V получаем VL, при всех k удовлетворяющую Vи -Q(^VL с Q^ = W(Y4ft4r' И
RlQ-QlR, (5.185)
кроме того,
TL = хщ (а)
pL = TU2(a) = T_щ_ (а),
oL = oul+ (а) = т+ы1+ (а). (5.186)
Вектор и\ обозначает тот столбец в V, для которого соответствующий
столбец в Vl равен нулю при ? = а. Тогда и2 - это другой столбец. При
помощи подходящего линейного преобразования мы будем, как правило, делать
так, что левый столбец в Vl будет иметь нуль; отсюда и употребление
индекса L.
Теперь, поскольку после применения плюс (минус) преобразования Шлезингера
т+ = с (т_ = р), то мы можем обозначить oi = T+i (pi = r-L). Тогда
естественно переписать (5.186) (обозначая т = то) так:
= (a),
T0L = T0u1(a), (5.187)
t+l = t+"1+ (a).
268 Глава 5
Следовательно, преобразование Бэклунда, добавляющее связанное состояние
при ? = а, может быть выражено в простой форме, аналогичной (4.99) для
семейства КдФ, для которого задача на собственные значения является
скалярной (уравнение Шрё-дингера), а не матричной задачей. Главная т-
функция то преобразуется в точности, как (4.99), а вспомогательные т-
функции т_(р) и т+(сг) преобразуются подобным же образом после применения
соответственно минус- и плюс-преобразований Бэклунда - Шлезингера.
Несложно выразить (5.187) через операторы Х+ и Х_, действующие на прежние
т, сг, р, потому что нам известно, как выражается и (а) через эти
величины. Вспомним, что каноническая форма V задавалась в (5.86) формулой
соответственно. Следовательно, если в качестве (щ, и2) взять линейную
комбинацию столбцов V в (5.188), то в качестве (ui_, ы2-) и (wi+, и2+)
следует взять ту же комбинацию (5.189а) и (5.189Ь) соответственно.
Пример: построение односолитонного решения. Применим один раз это
преобразование, начиная с тривиального решения т = 1, сг = р = 0. Пусть
(щ, иг) - линейная комбинация из А, умноженного на первый, и В,
умноженного на второй столбец матрицы V. Тогда
pL = т_L - -Х_ (а) • т_ + ВХ+ (а) сг_ = ВХ+ (а) • 1 (5.190а)
(5.188)
V- и V+ имеют асимптотический вид
(5.189а)
и
(5.189Ь)
(потому что т- = р есть нуль и = т = 1), Tl = тоL = АХ_ (а) • 1
(5.190Ь)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
269
И
(TL = T+i = 0.
(5.190с)
Следовательно, рL = В ехр (г ? aktk), xL - А ехр (- г Y,
aL - 0. Это соответствует решению
иерархии уравнений.
Точно так же можно создать нуль определителя RV в точке ? = а, если
применить
Снова я напоминаю читателю, что если мы возьмем в качестве (и\, и2)
линейную комбинацию столбцов канонической матрицы У, заданной (5.188), то
в качестве ц_ и и+ следует взять ту же линейную комбинацию столбцов
(5.189).
Теперь применим (5.193), где исходные т-, то, т+(р, ?, о) заданы (5.190).
Несложные вычисления показывают, что
Мы возьмем в качестве и2 в (5.193) следующую линейную комбинацию: С,
умноженное на первый, плюс D, умноженное на
Rr
(
(5.192)
к V. Соответствующие величины суть
тд - тод - х0и2 ((r))>
Ря = т-я = т-"2- (а),
^j? = Tr+J? = T+" 2+ (а).
(5.193)
X+(Z)-X+(?)f(tk) =
(5.194)
где мы использовали тождество
(5.195)
270 Глава 5
второй столбец матрицы V. Находим (мы опускаем индекс R У т, а, р):
т==(1 - т)'/2/МехР(- lYj(ak~ "*)
хО + аг-ет^Р^Е^-4*)'*))-
a = (l - |-)1/2СЛехр(-г a*) ехр (-2i ? a*/*) ,
р= (1 - |-)1/2 2iaBD ехр (- г (a* - aft) /*) ехр (2г ? а\) .
(5.196)
Это односолитонное решение иерархии АКНС. Если мы рассмотрим специальный
случай r = -q*, то a = a*, и при выборе
-g- = 2а*е2г№е(ф, = - ie2T'x"e~ ^
уравнения таковы:
е1 = - 2ц sech (г (a* - ak) tk + 2iyT0) X х ехр{ - i ? (a, + a;) + i
(q> + -J) },
f, = 2ri sech (г ]T (a* - a**) -f 2щ0 j X Хехр{г J] (a* + aj)- i (ф +
f)}- (5.197)
Читателю следует также проверить, что формулы (5.196) эквивалентны
формулам, которые получаются из метода Хироты (5.70). Они не совпадают в
точности, но отличаются лишь экспоненциальными множителями с линейной по
tk фазой, которые не играют роли ни при вычислении отношений a/т, ни при
вычислении вторых логарифмических производных.
Заметьте, что в точности, как в случае КдФ (см. разд. 4f), сдвиги фазы
появляются в виде множителей при последовательном применении вершинных
операторов.
Итак, в результате калибровочное преобразование
V -> Rr (a^) ... Rr (a,) Rl (a.N~) ... RL (a,) V
добавляет к решению иерархии АКНС связанное состояние (N, R), которое при
R = N является /V-солитонным состоянием.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
271
В качестве заключительного замечания в этом разделе исследуем действие
повторных преобразований Бэклунда - Шлезингера на точное решение в виде
связанного состояния (N, N). Предположим, мы нормировали решение V так,
