Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
+ 1, т. е. тп-1 = р, т,г = т, Тп+1 = о. По правилам для цепочки Тоды т-
функция в точке п + 2 задается выражением
тл+2 = 2хп + 1 ' Тл + 1-
Давайте применим R. Будучи матрицей, R не действует непосредственно на
скаляры. Мы будем поэтому обозначать буквой R ее эффективное действие:
^.р = т<=^/?-тп,1 = т",
R . х = а<=> R • т" = тя+1.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 263
Применяя Яка, получим
что эквивалентно
1 2
Я • Тп + 1 = DtXn+l • тп+1 = Тл+2.
Действие Я на функцию т"_2, заданную формулой (1/2т")Х X D2txn~i ¦ т"_1,
состоит в сдвиге индексов на единицу и дает т"_!. Итак,
Ятя_" т", т,1+!, т", т"+1, т"+(tm), (5.163)
Поэтому лучше всего считать, что Я действует не на триплет {р, т, сг}, а
на последовательность
Наконец, я расскажу, как вычислять матрицы Я, которые изменяют монодромию
в ? = оо. Попросту возьмем
*=y<'+">Zf'+T<'-H>I-r+?Z-r+FZ-r'
(5.164)
где суммировать надо от 0 до оо, и выпишем уравнения
яя=$я.
Для коэффициентов при находим
Е {"г (К-г 0 - Я"_г) + - сЛ-г) = (5.165а)
Е{мл"_,- 0 - Я"_г) - сгеп_г + brJn"r} = 0, (5.165Ь)
п Е {а,-(е"-г- 0 - ёп_г) - br (hn_r + Я"_г)} = 0, (5.165с)
Е{"г(/"-г- - 1 п-г) + сг (Ьп-г + Я"_г)} = 0. (5.165d)
о
Чтобы изменить монодромию V на множитель
-2х? О
/ U \
V 0 w)
поищем решение, для которого 8Г = 0, аг, рг, уг - нули при г ^ 2 и р0 =у0
= 0. Теперь решим уравнения и найдем
а0 = constant = -2/, щ =
Pi = ^" Yi = /i-
264 Глава 5
Несложные вычисления показывают, что
~ i дг
hn-1 = hn_j + у dt^ д{п_^ In eh
и это дает
f = ret = а.
Другие соотношения (5.157) и (5.158) также выводятся прямым вычислением.
Подводя итоги, мы воспользуемся более удобными обозначениями. Если
(5.166)
-2"'? - -gr- In ех еЛ
1 - (5-167)
/.*=-
то асимптотическое разложение V+ имеет вид
! [ *-т+ --^-*+Р+О
^+~41 г " Ц п 1 (5Л68)
iz;X_Р+ х+т+ J\ 0 йГ/
где
т+ = ст, р+ = т, ст+ = - ?>2 а • ст. (5.169а)
В терминах цепочки Тоды это запишется как {. . ., т"_" т", т"+1, . . .}+
= {.. ., т", тв+1, тя+2, .. .}. (5.169Ь)
Заметьте, что последнее уравнение согласуется с (5.67), третьим
уравнением в последовательности Хироты для т, а, р, потому что
Ща ¦ а = D) т+ • т+ = -2ст+р+ = - 2ст+т.
Заметим также, что определитель R постоянен и равен -1.
Из (5.166) мы находим, что компоненты (ui+, ц2+) столбца V+ связаны с
соответствующим столбцом в V (напомним, что е2 = Ц2ei, t,) соотношениями
ux+ = (^2it> + 2i^}ul + exu2, и2+ = -^-щ. (5.170)
Дуальное преобразование
= (5.171)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
265
(5.172)
изменяет монодромию V в точке ? = оо на множитель
1
то есть
~Жх+а- у о
173)
Z+t_ ) \ 0 2/?/
}) (5-1
it)
Р, ст_ = т, р_ = --D2p-p. (5.174а)
В терминах цепочки Тоды это запишется как {• • •. т"-1. т"+1, т"_2, t"_i,
т", ...}. (5.174Ь)
Столбцы V_ связаны со столбцами V соотношениями
"2- = fi"i + (2/g - 2/ щ. (5.175)
Читателю следует получить уравнения, аналогичные (5.161).
Сейчас мы намерены использовать преобразования Бэклунда--Шлезингера,
чтобы выписать формулу Бэклунда для добавления солитонов. Применяя ту же
стратегию, что и в первом примере, мы потребуем, чтобы R = RL было
выбрано так, чтобы один из двух столбцов Vl = RlV имел нуль в t, = а.
Если взять
( -2 i% + а Ь\
RL~{ I d) (5.176)
с а, Ь, с, d, независящими от ?, то это означает, что
(-2/а + а) их + Ьи2 = 0, cul-\-du2 - 0. (5.177)
Из преобразования Бэклунда
26G Глава 5
которое в компонентах записывается в виде
-21? (h-h) = bf - ёс, (5.178а)
(-2 % + a)e = b(h + h) + ed, (5.178b)
(-2/С + a) f = с (h + h) + fd, (5.178с)
се - fb - d (h. - h), (5.178d)
мы получаем, вычисляя коэффициенты при степенях ?,
е, = Ъ,
U = c,
-21 (Л2 - h2) = <?,/, -Sji,
S_1: -2ie2-{-aei = eld>
-2г'/2 + nfi = fid,
?i/i = /W Из (5.177), (5.179) имеем
11 Ы,
(5.179)
(-2ге2 + 2ае,-е*-^)
-2г (й2 - Л2) = e,f, + (-¦2"е2 + 2iae, - е? -у-) = -jp- In иь
что получено после несложных вычислений, использующих уравнения, которым
удовлетворяют и, и и2, а именно
Щх = - *?"1 + U-2X = <S"2 + /хЫ,-
Так как /г* = (г/2)д2 In %/dt\dtk-\, то это дает нам
т = ти[. (5.180)
Мы также найдем
p = f1T==-- • т"[ = - dxu2. (5.181)
Мы вскоре покажем, что d должна быть константой; нам удобно
выбрать ее равной -1. Окончательно
а = ё,х = те, (-2га + 2г - + е, -у-) =
- ^ ?i±i?L = TglMl + (а)==агг,+ (а) = т+гг1 + (а). (5.182)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
267
Какой замечательный результат! Налицо близкое сходство между формулами
(5.180) и (5.182). Разница в том, что новая о задана в терминах старых т,
а, р и щ, "2, которые были подвергнуты плюс-преобразованию Шлезингера.
Рассматривая снова (5.181), мы найдем из (5.175)
р = тц2 = т/1ц1_=рц1_ = т_и,_. (5.183)
Снова формула имеет тот же вид, что и (5.180), только она применена к (т,
а, р) и (щ, ц2), которые были подвергнуты минус-преобразованию
Шлезингера.
Причина, по которой d является константой, состоит в том, что detP = -
2id(t,- а). Так как этот определитель к тому же является вронскианом
