Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно показать, что условия того, что
приводят к следующим значениям а, Ь, с, d:
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
259
где (вспомните обозначения, используемые в разд. 4f)
V21 (ir\) VM(- iti)
(5.145)
r Kn(fti) F12(-ni)-
Последнее равенство справедливо, поскольку из разд. 5f мы знаем, что если
V\(x, ?), V2(x, ?)- решение уравнений Захарова-Шабата, то V2(x, -?), -
V\{x, -5) тоже являются решениями, если r = -q. Вычислив R, давайте
используем преобразование Бэклунда ( 5.134) для вычисления новых рядов h,
ё, f через старые h, е, f.
Несложные вычисления показывают, что если
? + а b
Ъ ?¦
то (5.134) можно записать как
W." Ж*..."*. -W -жж W-ж " ж ^ ~ ~ Ж ~ Ж , ЖЖ^ *¦*
/? + а Ь \ (h е \ (h ё \
( " t_J. " = (, _*). Q-(f _*).
It - h a(h - Я) + b (f - ё)
? ё - е = а (ё + e) - b (jh. ti) ¦
f-f . .- a (f + f) + & + h)
что h0 = ho- = - i, e0 = /o - ёо - fo = h
(5.146)
Вычисляя коэффициенты при ?°, мы получим
f 1
~е\ =
¦fi =
¦¦ 2ib ¦
4tiy
1 + У
2 ib = -
- 4-цу 1 + У2
(5.147а) (5.147Ь)
откуда видно, что поскольку ft = -еи то f 1 = -ё\, т. е. мы остаемся в
классе решений. Пусть е\ = -их/2, ё\ = -ы*/2 и у - tg(u + ы)/4, откуда из
(5.147а) имеем
их - йх = 4т] sin и\й~ (5.148)
- определенно знакомый результат (см. разд. 4f). Коэффициенты при высших
степенях ? дают соотношения между hs, es, fs и hs, es, fs. Вспоминая, что
es = {i/2)de\/dts~\, мы получим все соотношения Бэклунда для потоков
семейства мКдФ. В этом примере мы, конечно должны зафиксировать t2n, п=
1, 2, ..., ибо в противном случае мы не сохраним класс f 1 = -е\. Поэтому
выражения, полученные с помощью вычислений коэффициентов при нечетных
степенях ?, удовлетворяются автоматически и не дают нам новых соотношений
Бэклунда.
Они играют одну важную роль. Вы можете спросить, почему я смог выбрать y
= tg(" + u)/4. Строго говоря, это совсем не
260
Глава 5
следует из того, что я рассказал. Однако, если вы взглянете на
коэффициенты при ?-1 в (5.146), вы обнаружите, что
Теперь продифференцируйте (5.147а) по х или t\ и умножьте на i/2.
Получится
ё2 - е2 - гц cos ффх,
где мы воспользовались тем, что e2 - (i/2)dei/dt\, и положили V -
*4"(ф/2). Теперь вспомним, что а=-i'ricos<p, и поэтому
Поэтому введение у = tg [(и + ы)/4] совершенно естественно. Это не фокус
и не обман!
Второй пример иллюстрирует преобразование Шлезингера [86], [125]. На этот
раз мы выбираем R таким образом, чтобы асимптотическое разложение
фундаментальной матрицы решений 17 имело канонический вид, заданный
(5.77), но к тому же умноженный на матрицу
которая меняет монодромию в ? = °о.
Сначала позвольте привести ответ и изучить его ограничения. Как найти
нужное R, я расскажу после. Возьмем
ё2 - е2 = а(ё1 + е1).
(5.149)
ё\ + 6! - - Фх,
или
(5.150)
Канонический вид V есть
(5.151)
и, как я сказал, R была выбрана так, чтобы
/ -2Й \
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 261
Здесь Vc обозначает V, нормированную умножением на зависящее от ?
преобразование, с тем чтобы добиться канонического вида (т. е. (5.77) и
(5.151) с заменой т, а, р на т, а, р). Так как det/? =- 1, то ejt = l.
Но из (5.152) и (5.151)
-Щ
R = Ve\ 1 )V~1
-2г?т_т+ -|- g'3 5fp_ (J+t_ ct+t_
! _ _ |. (5-153)
Р-т + 4^Г^+Р- "2^"(a + P- 'г+'Г
где -x+ = x{tk-\-i/2kt,k), p_=^p(tk - i/2kt,k). Все экспоненциальные
множители tkH в I+ и L сокращаются. Теперь,
сравнивая (5.150) и (5.153), мы находим
<т+р_=т+т_, (5.154)
Р_т+--4|rT+p_ = f1Tf = pT. (5.155)
Но f 1 == ef1 (det R = - 1) означает, что
per = тт. (5.156)
Мы находим (вспоминая, что т+т- - а+р-/4^2 = т2 из-за det V = 1)
т = а, р = т (5.157)
и, раскрывая выражение
_1
получаем
о+т_ iTi а+т_,
а - - 2^- D\a ¦ <т, (5.158)
где Dt, - оператор Хироты. Записывая (5.151) в терминах е\, fi и
воспользовавшись тем, что = - ти/т + х\/х, находим (нижние индексы - это
производные по t\ -х)
~e---e{xx + -j; + ^v (5.159)
Кроме того,
(5.160)
е|
9 А. Ньюэлл
262 Глава 5
Теперь давайте представим, что нам захотелось применить это
преобразование Бэклунда - Шлезингера много раз. Пусть
(К 1\) = (Чп+ь гп+1) и (e,f fx) = {qn, гп).
Тогда последовательное применение преобразования Бэклунда, меняющего
монодромию V на множитель
г -4
4 2 it, '
дает последовательность
Ч ^ = - 4 + - + Ч2пгп> (5.161а)
'л+1 ^ пхх ' qn ' п' ' >
гп+1 = 7- (5.161Ь)
Яп
Пусть qn - e"n. Тогда гп = е~"п~1 и (5.161а) есть
(5.162)
Если мы обозначим x = it, это будут уравнения цепочки Тоды! Итак, мы
имеем замечательный результат, что цепочку Тоды можно решить
последовательным применением преобразований Бэклунда определенного вида к
иерархии si(2, С).
Можно не добавлять, что уравнения Хироты для цепочки Тоды - это
^п^^п-Ь Рл~тл-1 и (так как х = t\ = it)
Cfrt === 7Г1 DtCSn - l • СГл-I === ~XZ DfGn-l ' 0>л -1-
2ТЛ_1 4<Уп-2
Аналогия с цепочкой Тоды полезна потому, что она позволяет следующим
образом наглядно представить действие R. Допустим, что мы считаем триплет
{р, т, а} т-функциями цепочки Тоды, связанными с положениями п- 1, п и п
