Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 9

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 113 >> Следующая

ххxt - xxxt -f- хххххх 4хххххх -f- ЗхХх = 0. (5)
Для этих уравнений Хирота создал новое исчисление, в котором производные
d/dt, д/дх заменены операторами Dt, Dx; в этих обозначениях квадратичное
уравнение (5) может быть записано в виде
P(Dt, Dx)ft*m(DtDx + D*x)x>x = 0; (6)
здесь Р - многочлен от своих аргументов. Из этого уравнения
довольно просто определить условия (условия Хироты), которым должен
удовлетворять многочлен Р для того, чтобы уравнение допускало Л^-
солитонные решения для произвольных N. Для P{Dt, Dx) = DxDt + Dt
(уравнение КдФ), или P{Dt, Dx) = = DxDt-\-D% (уравнение Кортевега -
Савады) условия Хироты выполняются. Для Р (Dt, Dx) = DtDx -f Dx их нет, и
могут быть найдены только решения в виде двойной уединенной волны. Одни и
те же условия на Р допускают родственный класс решений, бесконечную
последовательность рациональных решений, для каждого из которых т-функция
является многочленом от х и t и для которых соответствующее решение q
является рациональной функцией. Первыми тремя нетривиальными
рациональными решениями (5) являются х - х, х = хй + 121, х = = х6 +
60х3?- 720/2. Соответствующие решения q(x,t) имеют двойной полюс с
коэффициентом -2 в каждом из нулей х - = x(t) функции х(х, t).
Существование этих рациональных решений эквивалентно другому свойству,
которым обладают солитонные уравнения,- свойству Пенлеве. Это свойство
было первоначально введено в связи с обыкновенными нелинейными
уравнениями второго порядка. Целью являлась классификация всех уравнений
второго порядка, свойством решений которых было то, что единственными
подвижными особенностями были полюса. Это озна-
20 Введение
чает, что единственным типом сингулярностей, положение которых зависит от
начальных данных, являются полюса.
Например, решением уравнения dy/dx = -у2, i/(0)=l/c служит у(х) = 1/(х +
с), имеющее полюс при х - -с. С другой стороны, точки л: = 0, оо
представляют собой неподвижные критические точки уравнения 2xdy/dx = у.
Пенлеве обнаружил, что существует пятьдесят типов уравнений,
удовлетворяющих этому требованию, состоящих из сорока четырех приводимых
к известным уравнениям и шести новых уравнений, решения которых названы
трансцендентами Пенлеве. Вторым в списке шести уравнений является
У хх == ху + 2J/3, (7)
о котором значительно больше будет сказано в гл. 4 и 5. В данный момент
важно, что (7) допускает решение вида
оо
1/ = -j а Л * - *о)п, (8)
о
в котором хо и а3 произвольны, а все остальные ап определяются
единственным образом. Уравнение, которое определяет я3, имеет вид 0-а3 =
0; нуль справа возникает в результате как раз нужного сочетания слагаемых
в (7). Если бы ху было заменено на х2у или слагаемое у3 на у4 (что
потребовало бы, чтобы членом главного порядка являлся полюс второго
порядка), то возникла бы несовместность в уравнениях на {ап}, которая
неизбежно повлекла бы необходимость введения слагаемого,
пропорционального {х - лг0)т1п(л: - лг0). Тогда уравнение не имело бы
свойства Пенлеве, для произвольной начальной точки х0 более не
существовало бы сингулярности в виде полюса.
Примечательно то, что все интегрируемые уравнения представляются
обладающими свойствами Пенлеве, хотя эта гипотеза должна быть несколько
изменена, когда она применяется к уравнениям в частных производных. Это
свойство представляется в точности эквивалентным существованию
бесконечной последовательности рациональных решений. Отметим в нашем
примере, что если т разложима в ряд Тейлора вблизи точки поверхности, на
которой она обращается в нуль, то q разлагается в ряд по полюсам. Поэтому
представляется, что выраженное в терминах т-функции свойство Пенлеве
требует, чтобы т-функция не имела подвижных критических точек.
Это наблюдение существенно и имеет потенциально важные следствия не
только в контексте эволюционных уравнений, но также и для других точно
решаемых моделей. Я уже упоминал, что двумерная модель Изинга с
взаимодействием ближайших
Введение 21
соседей представляется связанной с солитонными уравнениями. Эта связь
была впервые установлена в работе Сато, Мивы и Джимбо [103], которые
показали, что в скейлинговом пределе л-точечная корреляционная функция
удовлетворяет системе очень специальных нелинейных деформационных
уравнений, которые выражают тот факт, что сохраняется группа монодромии
соответствующей линейной системы. Рассмотрим конкретный пример линейной
системы порядка п
в которой л-точечная корреляционная функция т содержится в коэффициентах
матриц А, В, С. Данная система имеет иррегулярные сингулярности в точках
? = 0, оо. Условие, что группа монодромии этой системы не зависит от
аргументов л-точечной корреляционной функции, вынуждает последнюю
удовлетворять нелинейному деформационному уравнению. Решение этого
уравнения в принципе может быть построено с использованием свойства
изомонодромности. Этим способом в замкнутом виде могут быть получены
решения л-точечной корреляционной функции. Эта замечательная конструкция
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed