Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
напоминания. Рассматривается связь
N
N
п
Zu,Vt/ = yV,
(5.102)
добавленная к перечню (5.76). Она может быть записана как (S"/QW)-"/)k =
0, (5.103)
250 Г лава 5
так что нетривиальное решение существует только когда
det (^2 "/Q(/> - t//) = 0. (5.104)
Уравнение (5.104) задает алгебраическую кривую (для si (2, С)
гиперэллиптическую)
у2 = det • (5.105)
Перекрестное дифференцирование (5.96) и (5.103) показывает,
П
что Р= X "/Q(/) удовлетворяет уравнению
Pi, = [QuKP\, (5.106)
которое означает, что Р можно записать в виде
р = VPqV~1> Pot] - 0. (5.107)
Следовательно, характеристический многочлен для Р равен det(P0 - yl) и
поэтому он не зависит ни от какого времени. Кроме того, из совместности
(5.102) и (5.76) получим (достаточно перекрестно продифференцировать по
tk и использовать
Q(/> + [Q(/)> Q< ')] = Q\k])
tu№ = 0, Л = 1,2,.... (5.108)
-l j 1 4
Таким образом, (i) означает, что каждое Q(ft) - это функция
лишь (п-1) линейных комбинаций t\, ..., tn, a (ii) означает,
что, в частности, Q<') удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению по ti = х, потому что е\, tt и f i t можно
записать как функции еь fi и их производных по t\. Конечномерное
многообразие решений этого уравнения левоинвариантно относительно всех
потоков во всей иерархии Qt] - [Q(/), Q]. Это означает, что решение
уравнения
|;U/QU) = 0 (5.109)
в момент времени, равный нулю, если ему позволить эволюционировать в силу
любого временного потока, останется решением (5.109). Уравнение (5.109)
часто называют уравнением Лакса - Новикова. Решения (5.109), как и их
эволюция по временам, можно построить в явном виде, и мы показали один из
способов сделать это в разд. 3h. Эта задача решается в абелевых
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 251
функциях. Метод построения, использующий теорию римановых поверхностей и
единственность обладающих определенными свойствами функций, заданных на
этих поверхностях, был дан И. М. Кричевером. Я не буду здесь объяснять
его идеи и вместо этого рекомендую читателю работу [28].
(iii) Изомонодромные деформации. Предположим теперь, что вместо связи
(5.102) связь
ZVt=ijt,Vtl (5.110)
наложена на набор уравнений
Vtt = Qa)V, /= 1 п. (5.111)
Условие интегрируемости теперь таково: что можно переписать в виде
где
= (5.112)
к
^ ?Q,6"'. Qr = hrH + erE + frF.
Q<"
fk
0
Коэффициент при 1/Е; дает
ixQdx + 2 7^/Qi, tj= 0, (5.113)
что есть аналог (5.109). Это означает, что Qi - функция вида
7* (ей* 1^) <5Л,4)
сп- 1 фазой.
Теперь поясним, почему мы выбрали связь (5.110). Идея состоит в том, что
такая связь отражает масштабную инвариантность, которой обладают
некоторые уравнения в этой иерархии,- в точности так же, как выбор
конечнозонной связи отражает трансляционную инвариантность уравнения
(может быть, вам захочется вернуться к разд. 3h). Для большей
конкретности я сосредоточу внимание на иерархии мКдФ - подмножестве
иерархии уравнений
= (5.115)
252
Глава 5
котЬрое получается, если положить fi - e\=q и заморозить все потоки по
четным временам tin.
Первые три члена последовательности суть
Вычисление Q(5> я оставляю читателю в качестве упражнения. Заметьте, что
(5.117) обладает масштабной инвариантностью, т. е. если q(x, t) является
решением (5.117), то Р<7(|3л:, ЬЧ3) тоже является решением. Решение q(x,
t), инвариантное относительно масштабного преобразования, называется
автомодельным, и это значит, что
что совпадает с (5.113) при п = 3. Итак, q{x, t3) имеет вид
чтобы отразить структуру коэффициентов Q(I) и Q<3). Мы видим, что V{x,
t3, g) преобразуется при изменении масштаба как
Чи 4x1
Чп = --т{Чхх~^2Чх)х,
Чи = iV {Чхххх - 10(и2чхх - 1°чч1 + 6ч5)х\
(5.116)
(5.117)
хххх
(5.118)
они соответствуют
(5.119а)
(5.119Ь)
или
-щ$Ч№, Р3/3) lp=i = 0, Ч + хйх + 3ts4u - 0,
(5.120)
(5.121)
Удобно заменить переменные в
VX = QW, F<s = Q(3)y
(5.122)
на переменные
T - t-.
з>
(5.123)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
253
Ц7(Х, |), где ? = ?(3f3) '/3, и что уравнения (5.122) превраща-
если q задано выражением (5.121), это совпадает с проинтегрированным по X
уравнением (5.117), при этом v - константа интегрирования.
Выражение (5.126), описывающее автомодельное решение .уравнения (5.117),
есть уравнение Пенлеве второго рода (см. [35], [36] и разд. 4е). Это
нелинейное неавтономное уравнение, левоинвариантное относительно потока.
Например, выберете функцию f(x), удовлетворяющую (5.126). Возьмем t3 =
1/3. Позвольте решению q(x, t3) вида (5.121) эволюционировать в силу
(5.117) на интервале 1/3 < t3 < t. Тогда q(x, t) при t3 = t будет иметь
вид (5.121), где f(X) снова является решением (5.126), только X - это
теперь x/(3t)l/3.
Мы делаем более общее утверждение: класс совместных со связью (5.110)
решений имеет многофазную автомодельную структуру и удовлетворяет
автономному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению по х,
именно (5.113), с коэффициентами, зависящими от х, t2, ..., tn. Далее,
