Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
к. Поэтому все четные по у члены автоматически обращаются в нуль {у\,
уху2, уху3 и т. д.]. Во-первых, несложное вычисление показывает, что
Ф+й~ "
- а (хк) т (yk) -f ^ ^yk -f- DkQ ' х +
k
+тг И (** + "?¦) iy'+w) D'D,cr'т+
+ JT Е ("' + li?) 0" + ) (<" + Ф) D'D'D"' •т + + • • •"
где Dk - оператор Хироты (4.36), (4.37). Умножьте это выражение на ехр
(2г ? ?йг//0' возьмите компоненту ?°, затем замените г/й -*-Ук и вычтите
последнее выражение из предыдущего. Находим следующее:
Ух'. Dy Dlt у2: \d2-{d\,
Уз: |^з -^-AD2 + -1-D?,
"2. In _inn L пз
"г 9 3 9 1 2 9 г
Приравняв нулю эти выражения, получим (D2-4-^)ct-t = 0,
(d3 - y DyD^a ¦ т = 0,
(D3 + iD3)a.T = °.
244 Глава 5
Читатель может развить более прихотливые обозначения и получить выражения
для многочленов Хироты через многочлены Шура ря(х 1, *2) ...)
ekxl+vx2+... = ? ?ярп (Хи Хъ " )
о
Можно также подсчитать, сколько уравнений Хироты на каждом уровне [39].
Уровню п принадлежит такое же число уравнений Nn, сколько существует
разбиений целого числа п в сумму нечетных целых чисел щ + п2 + • ¦ • +
пг, каждое ns ^ п.
5f. Изоспектральные, сохраняющие римановы поверхности и изомонодромные
деформации.
(i) Изоспектральные деформации. Вплоть до настоящего момента в этой главе
все рассмотрение было локальным в том смысле, что в нашей интерпретации
уравнения (5.52) описывали эволюцию точки Q в бесконечномерном
пространстве в бесконечномерном времени t(fi, t2, •••)•
В этом разделе мы обратимся к более традиционному подходу, в котором одна
из независимых переменных выделена. Если в качестве таковой мы возьмем t\
и обозначим t\ = х, то в результате получим уравнения
ei.t^eut^eu fu elx, flx, ...), (5.94a)
= fu e,Xl fu, •••), (5.94b)
называемые иерархией АКНС. Если же мы выберем t2, то уравнения составят
иерархию НУШП (нелинейное уравнение Шрё-дингера с производной). Какую бы
независимую переменную мы бы не выделили, в дальнейшем ставится задача
Коши с граничными условиями на -оо < х < оо с заданными граничными
условиями е(х, 0), f(x, 0), которые устроены так, чтобы все величины,
входящие в метод обратной задачи, были подходящим образом определены.
Может быть также поставлена периодическая задача на конечном интервале.
Рассмотрим (5.94) на -оо < х < оо и предположим, что е\{х, tj), fi(x,
tj)^-0 при х->-±оо. Пусть V - фундаментальное матричное решение для
Vx = Qfl>V, (5.95)
и так как еь при х-"-±оо, мы можем нормировать V та-
ким образом, чтобы
/ е~^х 0 N
V~V"=U
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 245
при со. Так_выбранное У_мы обозначим Ф со столбцами
ф = (фь ф2)г и -Ф=(-Фь -фг)-1) Эта нормировка приводит к изменению
временной эволюции:
Ф^О^Ф-Ф^ОМ, \> 2. (5.96)
где - это асимптотика при х->±оо. Легко показать, что дополнительный член
в правой части не изменит условий интегрируемости. При перекрестном
дифференцировании (5.96) и (5.95) или же двух разных уравнений из (5.96)
последние члены в (5.96) автоматически обращаются в нуль.
Далее, если Тг является фундаментальным матричным решением (5.95), таким
что ТГ->У0 ПРИ JC->+00" то тогда ф и ? связаны постоянной (по х) матрицей
А<* + Ы = и (5.97.)
равной тр^Ф. При х-> + оо
Ф->М(С, tj). (5.97b)
Мы называем Л(?, //) матрицей рассеяния.
Здесь и далее я буду использовать обозначения из работы [23], и читателю
следует заглянуть в нее, если ему интересны подробности. Строго говоря,
матрица, называемая матрицей
рассеяния, связывает состояния ф(х, ?) (т. е. первый столбец Ф)
и Ф(*, ?) (второй столбец Чг) с состояниями -ф, ф, т. е. соответственно
со вторым и первым столбцами Фи?. Причина состоит в том, что первое
состояние относится к испускаемому, а второе - к приходящему излучению. В
качестве упражнения покажите, что
(L 1
(ф, - ф) = (ф, ф) S, где S = I аь (r)
' а а
Временная зависимость Л(?, /,-) находится с помощью подстановки (5.97Ь) в
(5.96):
A,, = [iVQc/Vo. Л]. (5.98)
В этих иерархиях мы считаем, что
У№)Уо=-%,Н.
') ф1 не обозначает функции, комплексно сопряженной к q>i.
246 Глава 5
В частности, (5.98) имеет лаксов вид, и диагональные элементы а (С) и
а(?) матрицы А суть интегралы движения. Далее можно
оо
показать, что при заданном интеграле ^ (lej, [/j |) с?л: < со ве-
- оо
личины
= W (Ф. Ф)> a(l) = W (ф, ф)
можно аналитически продолжить соответственно в верхнюю и нижнюю
полуплоскости ?. Но если 1т?>0, то ф ( '0 ) и ф(~(°)е'^*) являются
единственными решениями, затухающими в -оо и в -{-оо соответственно.
Значит, если ?/ таково, что ф(х, ?/)->-О в х = -f-оо, то
ф(*> W
и а(?/) -О- Аналогично, нули функции а (С), 1га ^ < 0, порождают
связанные состояния ф (х, tj) и ф (х, ?у); ф (х, = йуф (х, ^).
Поэтому спектр уравнения (5.95) сохраняется под действием любого потока
этой иерархии. Как и в изученном ранее случае КдФ, собственные значения
?/ связаны с солитонной частью решения. Я также отмечу факт, который
много раз использовался при построении солитонных решений (как в разд. 3h
или в следующем разделе о преобразованиях Бэклунда). Он состоит в том,
