Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
-It- -It-
(5.80)
В качестве упражнения я оставляю показать, что
b(tk, = ^4 + 2^)^"Ге1 + ' (5.81а)
с(/*, S) = y/i(/*-^)^y/,_, *-1,2......... (5.81b)
Выполнено следующее:
<р + ф = 1пт_ - 1пт, (5.82а)
Ф - ф = 1пт+-In т, (5.82Ь)
где
т-т('( + зд5')' t-=t(','"Sf)- *"1,2.......... (6,83)
Можно показать, что
*-^-¦?^-0--?¦)". (М4"
Мы вводим операторы
Х+(0 = exp (/ X ?*'*) exp ^ J-) , (5.85а)
X- (c) = ехр (- / ? ?*/*) ехр ^ . (5.85b)
Замечание. Мы можем назвать эти операторы "вершинными" операторами по
аналогии с похожими операторами У(?), введенными в (4.124) в связи с т-
функцией семейства КдФ. В том контексте, однако, когда оператор X (или
линейная комбинация Х{%) и Х{-?)) применялся к т или когда экспонента от
У(?) применялась к т, получалась другая т-функция. Хотя использовать
Х+(?;), Х_(?) в вычислениях, чтобы получать мно-
236 Глава 5
госолитонные решения (мы делаем это в разд. 5g)-весьма простая процедура,
трудно описать пространство функций, на котором естественно действуют
операторы Х+(?) и Х_(?).
Будем обозначать,, части этих операторов без множителей ехр(± / X
посредством Х+ (?) ;и Х_ (?) соответственно. Теперь, используя эти
результаты, получим
(, 1 гг , 1 ' "\f1 +н х * i-Н
( ~1?е'-+Е + fl-F) С-2 ~ "I 2 ~) •
Но
ех + Z+т = = .Х+а и fi^X_x = X_fl'x - Х_р.
Поэтому
/ *_т -±Х+о\
У~~[ ' уп у Г (5-86а)
Определитель этой матрицы равен единице, потому что из (5.84) detF=^-
(T+T_-^a+p_) = ^(l -~)=1. Поэтому обратная матрица такова:
( Х+х ~wx+°\
V t • (5-86ь)
Нужно прокомментировать, как были получены эти результаты. Во-первых,
нужно подставить анзац (5.77) в (5.76) и приравнять коэффициенты при
-оо < г < k. Для г ^ 0 (5.78)
получается довольно легко. В дополнение следует доказать, что это также
верно при г < 0, при этом появляются производные от if и ф. Для этого
следует использовать уравнения, которым удовлетворяют hr, ег и fr.
Выражения (5.78) должны быть, конечно, независимы от того, какое из
уравнений (какое время tk) мы используем. Пригодятся два уравнения
hr = - ¦?¦ Yj emcn + fmbn (5.87а)
m+л-г
ИЛИ
h - -i - -y{ee + fb)
? (emcn-fmbn) = 0, (5.87b)
m+л-г
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 237
которое записывается в виде
ес - fb.
Q принадлежит орбите, проходящей через -Ш. Затем мы показываем, что
типичный элемент фазового пространства Q лежит на орбите, проходящей
через -Ш.
Мы хотим показать, что
V(-iH)V~l = Q, (5.88а)
или, что то же самое
QV = V(- 1Н), (5.88Ь)
где
е'*'я+ф (5.89а)
является левым множителем V в асимптотическом разложении вблизи ? = оо,
т. е. формально
V = Vexp(-iZZ%H). (5.89b)
Так как правые множители в (5.89а, Ь) коммутируют с Я, нужно показать,
что
1 -4-ь
Пс .)¦
Это следует из (5.79), (5.87).
Выпишем уравнение, которому удовлетворяет 9. Из (5.76) и (5.89Ь) получаем
Vtk = Q{k)V + V(lHtk). (5.89с)
С этим уравнением мы снова встретимся в разд. 5j.
Я также отмечу, что если в качестве выделенной координаты х брать t/, то
фазовым пространством будет алгебра многочленов от в\, в2, ¦¦¦, в/, /ь
..., fj и их производных произвольного порядка по x = tj. Набор {е\, ...,
в/, fu ..., f,}, если его рассматривать как функцию x - t;, порождает
фазовое пространство. А так как эти функции в точности есть элементы,
содержащиеся в QU) = h^H -j- е^Е + fWF, где A(/) = ?; 2 Ar?_r
о
(и аналогично определены е^\ /(/)), то QW можно считать фа-
238 Глава 5
зовым пространством. Из (5.89с) типичный элемент этого фазового
пространства тогда запишется так:
<г(/,= 7(-ШС/-д*/)7_1+ Vt,V~l. (5.89d)
Замечание. Слово орбита употреблено здесь сознательно, и в нем заложен
определенный смысл. Если всякий элемент X фазового пространства, которое
является алгеброй G*, двойственной к алгебре G, может быть получен
коприсоединенным действием X = gX0g~1 (в матричном представлении)
элемента g группы G на элемент пространства G*, то тогда мы знаем, что
фазовое пространство является симплектическим многообразием с
невырожденной 2-формой. Например, если мы возьмем x = t\ в качестве
выделенной координаты, а в качестве фазового пространства возьмем
пространство пар ei(x, tk), fi(x, tk), то фазовое пространство - это
симплектическое мно-
оо
гообразие с 2-формой ^ 6et А бf{dx (см [75]). При выборе
- оо
x = tj фазовое пространство состоит из пар сопряженных функций (ё,, fj),
..., {ё/, f,), определенных в разд. 5d, а 2-формой является
^ (6ei A fif/ + • • • Ч" бв] А бf j) dtj.
Можно трактовать (5.89d) как утверждение, что фазовое пространство- это
орбита коприсоединенного действия, проходящая через элемент -iHtt - d/dtj
(А. Рейман; частное сообщение).
Упражнение 5е (важное)
Рассмотрите уравнения Лакса (5.58а) из упражнения 5с(3). Они также
решаются с помощью V(tk, Я), если положить
KQ = VCV-\ (5.90а)
где С не зависит от tk, а V удовлетворяет
ytk = Q[k)V (5.90b)
заданы в (5.57) С в (5.90а) - это (-iHQ, если взять
'v{tk,-t) -=l0(/*,g)\
у = - _. , (5.90с)
vx(tk,-Q -?-vx{tk,t)J
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 239
