Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
либо до k.
Я прошу вас убедиться (а в некоторых случаях доказать) в следующем.
(i) Последовательность е,- порождается потенциалом, по-
скольку
де1+1 dek+i dtk ~ dti
Предвидя то, что получится, я запишу
(И) е2 2 Л, <, + 2 Щ> fi 2 <i 2 '
Перед доказательством взгляните на первое соотношение. Оно вам знакомо?
Доказательство. Из (5.58b, d)
h\, tk = e*+i + ejk, tk - -2hk+i - 2/г^ц,
что дает нам
+ etf i, = 2htek+t - 2е1ЛА+1.
Небольшое вычисление показывает, что
h\, tktt - 2Vft+i - 2e1/)ft+1 + eJi, tk, и, если это вычесть из
предыдущего равенства, получится
2Mi,<ft - hi,tkti = -2eifutk = - так как ei = l-
Следовательно, fi~^hi, и из e*+i - tk~fk П0ЛУ'
чим
8*
228 Глава 5
(iii) hi как функция t\, t2 удовлетворяет модифицированному уравнению
Кортевега - де Фриза
V и~ег "Ь h~h2'ип "Ь ТЛ0, '
так как
^2= Y fi.t, ^1^1 = - 4" ^1, t,t, ~2^\'
(iv). Следствие. Как функция t\, t2, величина е2 удовлетворяет уравнению
КдФ, причем е2 = у hu и + у h\ есть преобразование Миуры.
(v). Я оставляю вам для доказательства соотношение
?/, tk - elek+l-lx + ••• + ekeIx ~ eixek+l-l - ••• -ekxel-
Смотрите (4.13)!
(vi) Nel+i = - -jMe/ = NLeh где L, M и N определены (3,6), (3.12). Это
значит, что
Ее/ ,
TT-L-'
/-1 /=1
Таким образом, et=- 5/_i (напомним, что В0--1, Bx=q/2, ...
..., Вг+х = у Lrq^ , и отсюда, а также из (4.6) мы видим, что
потенциал т, введенный посредством е/ =-(<V<fy-i) (<Э/д^)1пт, и в самом
деле есть т-функция семейства КдФ.
(vii) Заметим, что решением (5.58а) является Q = KCK-1, С - постоянная
матрица, а V удовлетворяет
K(fc = Q<"K. (5.59)
Получив Q(*> с помощью (5.57), мы найдем для V = {vx, v2)T vlx = hxvi +
exv2, ex = \, v2x = - Xvl - hxv2
и
' № e'
f ui\ (№ e(ft)\ / U! \
-hw)\v2)'
'tk где
Л"'=я'?тЬ /"'=** *?77-
о 1 о
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 229
Отметим, что как vi, так и v2 удовлетворяют уравнению Шрёдингера с
потенциалами q = - 2е2 = - hlx - h\ и hlx - h\ соответственно. Перепишем
эти уравнения для переменных
v = vu vx = v2 + Mi
и получим
("Д = (-1 + А" + *! 0 ) ( о1)
и
/ v \ / hSk) - М(<!) е(<!) \ / v \
I )tk = ^ р> + 2Л.М + Л, - h]eW h/" - Л<*> J U, J'
Обратим внимание, что М - hxdk) = - и что эти УРав* нения суть в точности
матричная форма (3.3).
5d. Законы сохранения, токи, потенциалы и уравнения Хироты. Далее как
немедленное следствие (5.55) получим
dhl+1 dhk+\ де!+\ dek+\ df/+1 dfk+1 fif)4
atk - at;, ' dtk at, у atk - at, ¦
Это означает, что ряды h, е, f могут быть записаны с помощью
трех потенциалов. В частности, из самих уравнений и из соот-
ношений
ei,tk = -2iek+u fl>tk = 2ifk+l
мы знаем, что в\ и h выступают в роли потенциалов для всех компонент
соответствующих векторов. Еще мы знаем из предыдущих вычислений, что
величины ^ hkdx являются сохраняющимися плотностями, поэтому h,-+1
оказываются не только производными по tj от потенциала, но и производными
по t\. Поэтому мы определим новый потенциал t(/i, t2, ...) с помощью
. д (i д In т \ /е с,\
Mi - dtk\2 dt{ )' (5.61)
То, что теперь нам хочется показать - это, конечно, что
р ^ In Т ла\
" dtf dtk (5.62)
есть локальная функция от (hr, ер, fq). Уместно назвать Fjk
тензором тока. В работе [38] мы получили явное выражение для
230
Глава 5
этой величины. Оно таково:
^ =4 Тг [Е w -r) QrQb+i-r] -t-| \z - *> QrQk+i-r
F,k = i Tr
(5.63)
Основная идея доказательства - использовать (5.55), чтобы переписать
Два выражения в (5.63) эквивалентны, если нормировать ряды h, е, f таким
образом, что h2-\-ef =-1. В противном случае они отличаются на величину,
зависящую от гамильтониана (Da.(Q). Чтобы сохранить симметрию, я определю
F\k как сим-метризованную сумму, но во всех вычислениях мы будем считать,
что h2-\-ef =-1, и поэтому мы сможем вычислить тензор тока, используя
лишь одно из этих выражений.
Впервые в литературе мы действительно получили выражения для токов всех
сохраняющихся величин по отношению ко всем потокам:
Интересно отметить, что токи естественнее всего выражаются с помощью
производных по всем временам от единственной функции lnt(/i, ^2, •••)•
Иными словами, ток для сохраняющейся плотности hi (интеграл которой
является гамильтонианом для НУШ) по отношению к t2 - потоку НУШ -
наилучшим образом выражается через производные второго порядка по t2 и по
4 - времени для совершенно другого потока, а не через производные по t2 и
х; а именно, (d/dt2)hi=(d/dt{)i/2-d2\nx/dt2dt2l. Конечно, можно также
выразить d*\nx/dt2dt2 через е\, fi и их производные по tu но эти
выражения не имеют естественной структуры и крайне громоздки.
Далее предположим, что мы выбрали другое tk (скажем, t2) в качестве
выделенной координаты х. Это было бы уместным, например, при изучении
нелинейного уравнения Шрёдингера с
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
231
производной. В этом случае законы сохранения суть
Fk2 - сохраняющиеся плотности, а соответствующие гамильтонианы
пропорциональны ^Fk2di2. В тех случаях, когда в качестве выделенной
