Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
индивидуальности. Например, заметим, что скорость уединенной волны (3)
зависит от амплитуды. Теперь представим, что в некоторый начальный момент
времени две уединенные волны далеко отстоят друг от друга, причем волна
слева имеет большую амплитуду и скорость. Большая волна в конце концов
догонит меньшую. Взаимодействие будет существенно нелинейным и будет
совершенно непохожим на взаимодействие двух линейных волн, в котором
результирующее решение является линейной суммой двух индивидуальных волн.
Тем не менее после нелинейного взаимодействия опять появляются два
импульса с большим в качестве лидера, причем каждый примет в точности
прежнюю форму. При этом не возникнет никакого излучения, процессом
рассеяния не порождается никакой другой моды. Единственным последствием
взаимодействия является фазовый сдвиг; каждый импульс будет сдвинут на
некоторое расстояние от того положения, в котором он находился бы,
перемещаясь беспрепятственно. Хотя данное свойство взаимодействия
представляется примечательным и в действительности часто используется как
тест для обнаружения солитонных уравнений, само по себе оно недостаточно.
Существуют уравнения, которые допускают решения, представляющие собой
нелинейную суперпозицию двух уединенных волн, но не обладающие всеми
свойствами, присущими решениям солитонных уравнений. Солитонное
уравнение, если оно допускает решения типа уединенных волн, должно
допускать решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию N
уединенных волн при произвольном N.
16 Введение
Оно также является точно интегрируемым в смысле бесконечномерного
обобщения полностью интегрируемой гамильтоновой системы. Мы говорим, что
конечномерная (2т переменных) гамильтонова система полностью
интегрируема, если она допускает т интегралов движения Ft, i= 1, ..., т,
которые независимы и находятся в инволюции по отношению к скобке
Пуассона, связанной с гамильтоновой структурой, и поверхность уровня,
определенная пересечением поверхностей Fi = с,-, является компактной и
связной. Существует теорема, которая гласит, что такую систему
каноническим образом можно преобразовать (тем самым сохраняя гамильтонову
структуру) в набор новых координат, переменных типа действие - угол, в
которых система полностью расцепляема. Переменные действия /г, 1 ^ ^ I ^
т (которые являются функциями интегралов движения Fi), неизменны во
времени, а угловые переменные 0,- линейно меняются во времени; т. е. 0,-
= co,f + а{, 1 ^ i ^ т, щ, юг постоянны. Как следствие, движение должно
быть квазиперио-дическим и осуществляться на m-мерном торе, топологически
эквивалентном прямому произведению т окружностей. На сегодняшний день все
известные солитонные уравнения имеют гамильтоновы структуры и бесконечный
набор интегралов движения, находящихся в инволюции. Существует также
каноническое преобразование (метод обратной задачи или МОЗР, нелинейный
аналог преобразования Фурье), которое трансформирует солитонное уравнение
в бесконечную систему отдельных уравнений с переменными типа действие -
угол, каждое из которых может быть проинтегрировано тривиальным образом.
На этом пути можно в принципе решить начальную задачу Коши. При этом
оказывается, что некоторые переменные действия являются солитонными
параметрами; в этом заключается причина сохранения индивидуальных
признаков солитона при рассеянии, а именно параметров, задающих его
форму, скорость, амплитуду, собственную частоту и т. д. Остальные
переменные действия связаны с энергией излучения каждой нелинейной моды,
нелинейным аналогом континуума мод Фурье линейной системы.
Сравните это поведение с тем, которое ожидалось бы в механической системе
с сильной связью между многими степенями свободы. В общем случае не
следует ожидать, что такая система будет расцепляемой. Следовательно,
нельзя ожидать, чтобы энергетический спектр временных рядов для какой-
либо из зависимых переменных состоял из т отдельных частот, как это было,
например, в случае полностью интегрируемой гамильтоновой системы с
компактным гамильтонианом. Напротив, следует ожидать по крайней мере
небольшого спектрального уши-рения, свидетельствующего о стохастичности
поведения, хотя
Введение 17
оно не обязательно будет эргодическим. Действительно, вторым значительным
открытием последнего десятилетия, упоминавшимся в первом абзаце, является
осознание того, что в системах уравнений с небольшим числом степеней
свободы может существовать стохастическое поведение зависимости от
времени. Важна качественная природа системы уравнений, а не размерность
системы. Если уравнения таковы, что решения сильно зависят от начальных
условий, то малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в
фазовом потоке, и начиная с некоторого момента становится совершенно
невозможно предсказать будущее состояние системы. Этот процесс может
происходить даже в диссипативных системах, в которых имеет место сжатие
заданного объема в фазовом потоке пространства состояний. Оказывается,
