Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 66

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 113 >> Следующая

является точкой ветвления решения. Если бы это имело место, положение
точки ветвления зависело бы от начальных условий и уравнение не имело бы
свойства Пенлеве.
Большим преимуществом гипотезы AFC является простота в применении. Ее
недостаток состоит в том, что для тестирования на интегрируемость
необходимо проверить все обыкновенные дифференциальные уравнения,
связанные с симметриями дифференциального уравнения в частных
производных. Было бы лучше, если бы существовала возможность
непосредственно изучать и тестировать само исходное уравнение. Проделаем
это для (4.71), используя разложение
<7 (*, 0 = (х !г*в).- + (х + Оо + Щ (х - х0) + .... (4.79)
где хо и все коэффициенты могут быть функциями от t. Подстановкой в
(4.71) мы находим уравнение
оо
п (п - 1) (и - 2) ап + 6 Yj rafas +
-2
r+s=n-2
Ч- ""-з, f - (" - 2) a"_2JC0i = 0, -2, (4.80)
которое решаем для ап, выражая его через a"_r. Для п = -2, - 1, 0, 1 мы
находим а_2 = -2, а-\-0, а0 = (1/6)х0<, Щ = 0. При п = 2 коэффициент а2
равен нулю, но тем же является сумма других слагаемых в уравнении.
Следовательно, я2(0- про-
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
183
извольная функция. Для п = 3 находим аз = -~хш. Если
п = 4, вновь равен нулю коэффициент при а4, но уравнение при этом имеет
вид
24а4 + 6 (2ао02 + 2а_2а4) + аи - 2a2x0i - О
и удовлетворяется тождественно. Все последующие а" определяются
однозначно. Поэтому q(x, t) имеет локальное решение, которое может быть
записано в виде ряда Лорана с тремя произвольными функциями от t, х0(?),
а2(t), a4(t). Этот подход был развит Вейссом, Табором и Карнивейлем [96]
и модифицирован Крускалом. Я отсылаю читателя к их работе. В сущности,
гипотеза АРС была модифицирована так, что теперь она означает
существование локального разложения функции q(x, t) в ряд Лорана в
окрестности тех поверхностей в (х, ^-пространстве, на которых она имеет
полюсное поведение.
То, что я хотел здесь сделать, - это привлечь ваше внимание к связи этих
результатов с результатами последнего раздела, поскольку я верю в
существование непосредственного соответствия между свойством Хироты и
свойством Пенлеве заданного уравнения. В обоих случаях для того, чтобы
соответствующее свойство имело место, должно происходить нечто
магическое. В первом из них должна существовать возможность, во-первых,
записать заданное уравнение в представлении Хироты и, во-вторых,
показать, что полученный многочлен принадлежит классу, допускающему А-
солитонные решения при произвольном N. Это означает, что его
коэффициенты, унаследованные из исходных уравнений, должны быть связаны
друг с другом специальными соотношениями. Это также именно то, что должно
иметь место, когда применяется тест Пенлеве. Коэффициенты должны быть в
точности такими, чтобы ряд (4.74) (или (4.79)) был рядом Лорана.
Но на самом деле связь более глубока, чем это простое наблюдение.
Заметим, что
Х^ X
q(x,t) = - 2-^+2-^, (4.81)
и поэтому полюс второго порядка функции q(x, t) является простым нулем
вездесущей т-функции х{х, t3, t5, ...). Далее, мы знаем, что (4.71)
обладает бесконечной серией рациональных решений (см. разд. 3h),
соответствующей бесконечному ряду многосолитонных решений, и требование,
предъявляемое к Р для существования того и другого, одно и то же, а
именно условие Хироты (4.54). Рациональные решения определяются
выражением т в виде конечной полиномиальной функции x = tu t3,
184 Глава 4
t5, ... заданного веса (х, л:3+Ш3, ...). Условия, при которых можно
получить последовательность конечных полиномиальных решений, являются в
точности условиями Хироты. Теперь взглянем на это с точки зрения свойства
Пенлеве. Если т может быть выражена как конечный многочлен х, t3, • • •,
то ясно, что она допускает представление в виде ряда Тейлора в
окрестности точек, лежащих на поверхности т = 0. Но если т имеет
разложение в виде ряда Тейлора вблизи поверхности, где она обращается в
нуль, то соответствующая q(x, t3, ...) обладает локальным разложением в
ряд Лорана вблизи своих полюсов.
Предположение, что т-функция является аналитической по каждому из своих
аргументов, все еще подлежит доказательству. Одной из трудностей является
то, что это верно лишь для определенных классов решений. Прежде всего
необходимо найти удобный способ исключения всех точек, где т и,
следовательно, q имеют алгебраические, логарифмические или существенные
особенности. Разумеется, этот набор точек фиксирован и не зависит от
начальных условий.
Однако я убежден, что тест Пенлеве содержит больше информации, чем просто
ответ "да" или "нет" на вопрос об интегрируемости уравнений. Хотя работа
до сих пор носит предварительный характер, существуют все указания на то,
что точно так же, как в случае многочленов Хироты, свойство Пенлеве
обусловлено внутренней алгебраической структурой, лежащей в их основе.
Другими словами, мое предположение состоит в том, что некоторая версия
теста Пенлеве приводит к той же самой алгебраической структуре (в случае
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed