Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функциях и имеющих вид
у" = 2y3 + cy - v, (4.68)
180 Глава 4
и шесть типов уравнений, решения которых не могут быть выражены
(исключая специальные предельные случаи) в терминах
известных специальных функций. Эти шесть уравнений названы уравнениями
Пенлеве и их решения - трансцендентами Пенлеве. Читатель может найти
список этих уравнений в работе Айнса [92]. Два уравнения, которые
появляются в этих лекциях, это второе,
Я хх = xq + 2 qa - v, (4.69)
и третье (после преобразования z = e"),
(хих)х = - sh и, (4.70)
уравнения Пенлеве.
Далее, какое отношение все это имеет к полностью интегрируемым
дифференциальным уравнениям в частных производных или, в более общей
форме, к полностью разрешимым физическим моделям? Удивителен следующий
факт: обнаружено, что нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения,
которые возникают очень естественным образом в этих точно решаемых
моделях, обладают свойством Пенлеве. Не верится, чтобы этот факт был
случайностью. Вероятнее, что существуют глубокие внутренние связи между
точно решаемыми моделями и свойством Пенлеве. В следующем разделе я
дополнительно прокомментирую эту идею.
(и) Гипотеза АРС (Абловиц, Рамани, Сегур). В 1977 г. Аб-ловиц и Сегур
[93], [35] отметили, что после того как была установлена точная
разрешимость уравнений
Я1 + ЪяЯх + Яххх = 0. (4.71)
vt - 6v2vxx + vxxx = 0 (4.7 2)
(при определенных граничных условиях), можно также решить нелинейные
обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные наложением различных
свойств симметрии на эти уравнения. Например, галилеева инвариантность
означает, что (4.71) имеет решения вида q(x, t) = f(X = x - ct),
удовлетворяющие уравнению
- cfx + &ffx + fxxx = 0-
Масштабная инвариантность означает, что если q(x, t) удовлетворяет
(4.71), то то же имеет место для $2q($x, р3?) и, если v(x, t)
удовлетворяет (4.72), то это верно и для ри(рх, р30- Полагая
И*, ^==-^17Г^(Х = '^Т7г)'
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
181
после однократного интегрирования мы получаем
fxx = Xf + 2/3-v, (4.73)
т. е. второе уравнение Пенлеве (4.69). В качестве упражнения я попрошу
читателя показать, что при помощи подходящего преобразования (подсказка:
взгляните на преобразования Миуры) решения уравнения (4.71) вида q(x, t)
= (l/(302/3)g(x/.(3t)1/3) удовлетворяют (4.73) при v = 0.
Абловиц и Сегур указали, что однопараметрическое семейство решений (4.73)
при v = 0, убывающих экспоненциально при х->-оо и алгебраически при х-*--
оо, может быть найдено непосредственным применением метода обратной
задачи. Основание для этих ограничений состоит в том, что метод обратной
задачи требует, чтобы решения q(x, t) стремились к нулю на обеих
бесконечностях. В разд. 5f (iii) я расскажу, как искать общее решение
начальной задачи для уравнения (4.73).
Далее, зная специфические свойства решений уравнения Пенлеве и заметив,
что все обыкновенные дифференциальные уравнения, выводимые из известных
полностью интегрируемых уравнений, обладают этим свойством, Абловиц и
Сегур, к которым на этом этапе присоединился Рамани [35], высказали
предположение, что это верно всегда: а именно, все обыкновенные
дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых
дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством
Пенлеве. В некоторых случаях может понадобиться некоторая
изобретательность при выборе зависимой переменной (см. (4.70)). Большим
преимуществом этой идеи является то, что она дает простой и
конструктивный тест на интегрируемость.
Проиллюстрируем это на примере (4.73) с v = 0. Предположим, что Хо
является полюсной сингулярностью функции f(X). Теперь мы должны построить
ряд Лорана для / в окрестности Х0
/(*)= ? а"(А-А0)п. (4.74)
п=-Ы
Легко показать, что для того, чтобы (4.74) удовлетворяло уравнению
(4.73), N должно быть единицей. Подстановка (4.74) в (4.73) дает систему
нелинейных алгебраических уравнений
(п + 1) (п + 2) ап+2 = а"_] + Х0ап +
"Ь 2 ^aflkai, j-\-k-\-l = n, (4.75)
для п^3(а" = 0, п <-1), к решению которой мы переходим методом итераций,
выражая ап+2 через коэффициенты более низ-
182 Глава 4
кого порядка. Это можно сделать только в том случае, если существует
совместность при значениях п = -3, л= 1, что необходимо, поскольку в
каждом случае мы получим коэффициенты ап+2 равными нулю, если не будут
выполнены условия
а2_,= 1, (4.76)
а0 + *0а1+6а_1а* = 0. (4.77)
Мы находим, что для п - -2, -1, О
00 = 0, = = (4.78)
(4.76) и (4.77) при этом удовлетворяются выбором a_i = ±l. После этого
все ап определены однозначно, и нетрудно показать, что полученный в
результате ряд сходится для достаточно малых значений X - Х0 Ф 0. Данное
семейство решений имеет два свободных параметра Х0 и а3, что и следовало
ожидать, поскольку уравнение имело второй порядок. Если бы условие
совместности (4.77) не было выполнено, то в локальное разложение для f(X)
следовало включить слагаемое In (А- - Zoh которое означало бы, что Х0
