Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
одну скалярную функцию.
Теперь мы изложим формализм Хироты. Удобно определить
(4.24)
<7 = да*.
(4.25)
Тогда уравнение КдФ
Qt + §qqx + Qxxx - 0
(4.26)
после однократного интегрирования принимает вид
да, + 3 w\ + wxxx = 0. (4.27)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
169
Константа интегрирования выбирается равной нулю в соответствии со
свойством интересующего нас класса решений. (Для того чтобы устранить
дробные коэффициенты в последующих вычислениях, я произведу масштабное
преобразование (3.9) /2n+i^-22n/2n+i.) Теперь вычислим следующие
величины:
1 *х
•
1 (tm)хх - Гхх "4
2 У [х2 х х2 '
1 хггг Зххххх т3
* _ 'XXX ~'Х'ХХ I о *
~2^х=~х---------------
1 Ххххх ^х^ххх _ Зххх . 1 2ххХхх ____ " тх
2 Яхх ^ та т8 "Г тз
3 т2 х2хгг х\
- д2 = 6 -Ц- - 1 2 -2-F- + 6 -4.
2 4 х2 х3 ' х*
Заметим, что если сложить две последние величины, что в точности дает
комбинацию линейного дисперсионного члена и квадратичной нелинейности,
входящей в (4.27), то исчезают все отношения, содержащие кубические члены
или члены более высокого порядка и их производные, после чего мы находим
т (wxxx + 3<) = у Яхх + т я2 =
Поэтому уравнение КдФ для новой переменной т принимает вид тт - х т, -4-
тт - 4т т -4- Зт2 = 0. (4.28)
xt j'(T ХХХХ ^ X XXX 1 XX '
Первая интересная особенность этого уравнения состоит в том, что оно
квадратично по т. Заметим, что решение т = 1 соответствует нулевому полю
ц. Далее пусть
Т=1 +евд*.<>, (4.29)
где функция 0(х, /) = kx + at + 0о линейна по х и t. Форма (4.29)
является точным решением, если взять w = -k3; коэффициент при вторых
гармониках е29 автоматически обращается в нуль. Попробуем испытать анзац
т = 1 + е9' + е9\
где 0у = kjX - + 0О/. Он не является решением, поскольку,
хотя и обращаются в нуль коэффициенты при е201 и е20г, но коэффициент при
ее'+9* остается. Уберем его, добавив в анзац этот член, умноженный ца
постоянную, выбираемую так, чтобц
170 Глава 4
исключить коэффициент при е0*+02, который возникает по двум причинам: в
результате квадратичной комбинации е01 и е02, а также 1 и е0'+02.
Коэффициенты при e20"+0i, eQl+2Ql и е20^20" чудесным образом обращаются в
нуль. Причину этого мы скоро увидим. Поэтому представление
т (jc, 0 = 1+ е01 + е02 + ев,+вг+Аи (4.30)
дает решение для (4.26), если
В разд. 3d мы уже обсуждали природу решений (4.29) и (4.30) и
интерпретировали An(k\, k2) как функцию фазового сдвига. Здесь kj == -
2ц/. В частности, решение (4.30) может быть понято как нелинейная
суперпозиция двух решений с амплитудами
^k\ и yk\. Если k]> k2, то при изменении t от -оо до +оо
первый импульс догоняет второй, взаимодействует с ним и проходит сквозь
второй импульс, аналогично тому, как обсуждалось в гл. 3. После
взаимодействия больший импульс сдвигается вперед на расстояние -A\2/\k\\
относительно положения, в котором он находился бы, двигаясь
беспрепятственно, меньший смещается на расстояние -Л12/\k2\ назад.
Напоминаем, что А\2 < 0.
Если уравнение записать в квадратичном виде, то всегда существует
двухсолитонное решение. Однако это не так для трех-солитонных решений,
для которых
т == 1 + ? е°< + Z e*i+ek+Aik + е01+02+0з+А!зЛн+л1*. (4>32)
/~ 1 1</<*<3
В этом случае для того, чтобы сократились коэффициенты при ее,+е,+е5>
коэффициенты в исходном квадратичном уравнении (4.28) должны быть
подобраны абсолютно точно. Заметим также, что коэффициенты при ее'+02+02
представляют собой экспоненту от функции фазового сдвига двухсолитонного
взаимодействия. Это свойство сохраняется в общем случае, и W-фазным
солитонным решением для КдФ является
т== X ехр(?иА+ Tj (4-33)
\Lj =0, i V/=i i<i</<n v
Рассмотрим случай k\ > k\ > ... > k2n. При изменении времени t от -oo до
+oo больший солитон приобретет фазовый сдвиг, состоящий из суммы фазовых
сдвигов, возникающих при прохождении им через каждый солитон.
t-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
171
Сейчас я покажу вам, как строить эти решения. Но вначале я скажу о том,
что N-солитонное решение каждого из членов семейства КдФ имеет в точности
ту же форму. Единственным отличием является
(Я снова хочу подчеркнуть, что t2n+\ в (4.34) равны произведению 2~2п на
t2n+u которые определены в разд. ЗЬ. Это изменение внесено с тем, чтобы
исключить множители 1, 2-2, 2-4, ..., 2~п в (3.14), (3.15), (3.16),
(3.22), возникающие в интегральных членах аналогичного (4.28) уравнения
для потока (КдФ)гл+1-) Заслуживает внимания, что не только (4.33) с 0/,
определенными формулой (4.34), т. е. N-солитонное решение для всех
потоков семейства КдФ, но и функция фазового сдвига Aij(ki, kj), и сам
результирующий сдвиг
одни и те же для всех уравнений семейства. Это обстоятельство менее
интересно, после того как понято, что оно является прямым следствием
коммутативности потоков и что q(x, t3, t3, t7,...) является общим
решением. Для того чтобы увидеть это, представим, что мы начинаем с
двухсолитонного решения q(x, 0,0,...) семейства КдФ. Исследуем эволюцию
двумя способами. Вначале выберем заданную форму в качестве начального
