Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 60

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 113 >> Следующая

интерпретации. Ее не имеют и соответствующие симметрии. По этой причине
они называются скрытыми (подразумевается: неочевидными) симметриями. В
начале гл. 5 мы увидим, что они связаны с действием некоторых
бесконечномерных групп Ли. В случае семейства КдФ группа симметрии
является группой Каца - Муди, соответствующей градуированной алгебре Ли
si(2, С), алгебре петель для si(2, С). Позже в гл. 5 мы также обсудим
метод редукции для этих случаев и покажем, используя обобщенный Марсденом
и Вейнстейном [88] классический метод редукции, что семейства уравнений,
заданные формулами (3.9) и (3.49), являются редукциями значительно более
простых потоков на многообразии большей размерности.
Теперь давайте определим и идентифицируем симметрии и соответствующие
законы сохранения семейства КдФ. На основании предыдущего примера мы
назовем функцию о (и), означающую v(u, их, ихх, •••), симметрией
скалярного уравнения
ut = Q (и), (4.21)
если и-f-eo(u) также удовлетворяет (4.21) для всех решений и этого
уравнения при произвольно малом е. Это означает, что о (и) должно
удовлетворять линеаризованному варианту уравнения (4.21), имеющему вид
t>, = Q'(u)[v]. (4.22)
Правая часть (4.22) обозначает пространственную производную (Фреше) от Q
в точке и по направлению V, т. е. Quv + QUjvx + + ..., и определяется как
Hm -j- (Q (и + ev (u)) - Q (")). 8->0 (r)
T-фуНкцИй, метод Хироты, свойство Пенлеве
167
Отметим, что левая часть (4.22) также может быть записана в виде v' (u)
[Q] , так как
vt = vuut + vuuxt + ... = vuQ + VuxQx +--------
Мы имеем много кандидатов в качестве симметрий для типичного
представителя семейства КдФ (3.9)
<4-23>
так как мы знаем, что все потоки (4.23) коммутируют, и поэтому q можно
считать функцией бесконечного числа независимых переменных х = ti, t3,
..., t2k+ь ¦ • ¦ • Таким образом, мы можем дифференцировать (4.23) по
t2/+\ и приходим к тому, что dq/dt2j+\ удовлетворяет линеаризованному
уравнению. Следовательно, симметриями всех без исключения членов
семейства КдФ являются a2j+1=dq/dt2i+u / = 0, 1, 2, ... . Уравнение
(4.23) также может быть один раз проинтегрировано и дает
дт . k
L q.
^2fc+l
С каждой симметрией a2/+i связан локальный закон сохранения
д dw _ д д2 In т
dt2k + l dt2f + l dtl dt2k + \dt2j + l
причем интегралами движения (когда х рассматривается как выделенная
переменная) являются выражения
оо оо
^ dw dx- ^ Uqdx.
dt
- оо.
2/ + 1
Читатель может проверить, что они являются интегралами движения; случай /
= 0 представляет полную массу (или импульс), / = 1 - энергию, / = 2
пропорционален первой скрытой симметрии Я3, т. е. гамильтониану,
генерирующему уравнение КдФ--(Однако следует указать, что функционал Я3
очень полезен при, доказательстве устойчивости уединенных волн . (см.
[126] К Бус-. синеск назвал его моментом устойчивости.)
Существуют также другие симметрии. Они связаны с преобразованиями
Бэклунда, которые я буду обсуждать в разд. 4f. Пока что рассмотрим
следующую идею. Пусть q(x, t\, tz, т\, дг0) является односолитонным
решением семейства КдФ (3.9), п = 0, 1, 2, 3, ...
<7 = 2T)2sech2T)(x - хй + tx-\- ? (- l)ftT)2A/2ft+i)•
i 68
Глава 4
Так как оно является решением для всех значений параметров амплитуды г) и
местоположения х0, то dq/dt\ и dq/dx0 являются решениями семейства
линеаризованных уравнений КдФ и поэтому также являются симметриями. В
частности, они являются решениями уравнений, линеаризованных вблизи
тождественного состояния (либо г) =0, либо х0 = оо). Преобразованием
Бэклун-да является преобразование, которое порождает новые и более
богатые решения (в том смысле, что преобразование может добавить
дополнительные компоненты к данным рассеяния, которых прежде не было) из
старых решений семейства КдФ. Они также могут быть построены непрерывным
способом, начиная с тождественного состояния. Это означает, например, что
мы можем добавить решение с произвольно малыми значениями параметра
амплитуды т] или при сколь угодно больших расстояниях так, что параметр b
= exp (2rix0) будет настолько малым, насколько мы захотим.
Поэтому в дополнение к симметриям, связанным с потоками (трансляция
временных координат), существуют непрерывные симметрии, связанные с
преобразованиями, которые преобразуют один тип решения в другой
непрерывным образом. В последнем разделе этой главы, разд. 4g, я покажу,
каким образом оба набора симметрий комбинируются в виде алгебры Каца -
Муди, связанной с алгеброй петель алгебры si(2, С).
4d. Рассказ о преобразованиях Хироты [34], [89]. Я вновь напомню, что в
гл. 1 я кратко упомянул об остроумном методе Хироты для нахождения
многосолитонных решений семейства КдФ. Основываясь как на форме, которую
имеет АЛсолитонное решение, так и на аналогичном преобразовании для
уравнения Бюргерса, Хирота связал с решением q(x, t3) уравнения КдФ
функцию т(х, (з), определенную формулой
Как мы видели в разд. 4а, этот выбор является очень естественным в том
смысле, что полный тензор потока семейства КдФ может быть выражен через
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed