Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 59

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 113 >> Следующая

асимптотический символ на знак равенства.) Запишем интегралы трех первых
слагаемых (4.15Ь) в терминах функции т:
\qdx 1 1 г
Ф ~ Ф0 щ q + ^ (qxx + q2)dx + ...
1 <3 i 1 <3 Int , 1
= ф0 - - - In т - -2 --2-----------------------Ь з X
д/, 2S <3/f 24"S
X 5 (qxx + ^q2)dx+-~qx+ ... = ф0 - lnr -
J tfe oil
1 a*inr . i a3int 1 ainr /л
•2 л/2 R,/3 -IS ojy-3 ~ • • •>
2 г dt\ 6t?3 dt\ Щ3 dt3 где мы использовали тот факт, что
qxx + 3q2=-4\qtxdx = -8-^-.
Продолжение этого процесса (см. для доказательства работу Флашки [86])
дает
^ ^ . л 1 \
164 Глава 4
Поэтому
4....;
(4.17)
Мы введем оператор
X (0 = ехр(/ ? ехр (?-• (4.18а)
Операторы этого типа имеют тесное отношение к объектам, называемым в
литературе вершинными операторами [101], [102]. Теперь мы видим, что
о(*. /з, ?)~"*(?)• т (4.18Ь)
дает нам (формально) соотношение между функцией, которая порождает
решения семейства КдФ, и собственными функциями v(x, t3 ...; ?). Эта
частная формула будет использоваться, когда мы введем в разд. 4f
преобразование Бэклунда.
4с, Симметрии, законы сохранения и интегралы движения.
Рассмотрим частицу единичной массы с координатным вектором (qu Ы и
вектором импульса (ри р2), движущуюся в плоскости под действием
консервативного поля центральных сил. Гамильтониан этой системы имеет вид
H{q{, q2, р1г Р2) = y (Pi + Pi) + V (*Jq\ + Я\), (4.19)
и движение задается формулой
2 = JS7H, (4.20)
где г = (<7ь q2, Ри Р2), V - градиент по этим четырем переменным и / =
(_° о); здесь I - единичная матрица ({, °).
Далее, интуитивно ясно, что мы могли бы выбрать для описания движения в
любой системе отсчета, которая представляет собой поворот координат г в
плоскости на угол 0,
z' = Rz,
где
(М 0\ / cos0 sin0\
^ \0 Mj' ^ \-sin 0 cos0/'
и где 0, которая определяет величину угла вращения, является
произвольной. Поскольку как гамильтониан Н, так и уравнения
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве
165
движения инвариантны относительно действия группы вращений (это означает,
что H'(z'(z)) = Н (z) и z' = JV'H'), то инфи-нитезимальное изменение dz
/дВ, вычисленное при 0 = 0, удовлетворяет линеаризованному уравнению
(4.20). Читатель может проверить это сам. Для малых 0 q[ = qx + Qq2,
д/др[ = д/др1 +
-\-B(djdp2), и поэтому q[ = dH'jdp' принимает вид (qi~\- Qq/) =
= ((d/dpi)+ В(д/др2))Н (напоминаем, что H'(z') = H(z)), что действительно
имеет место.
Поэтому можно видеть, что свойство инвариантности гамильтониана и
уравнений движения относительно действия группы вращения может быть
выражено посредством того, что частная производная решения dz/d0|e=o.
вычисленная при 0=0, является решением линеаризованного уравнения. Как мы
уже подчеркнули, линеаризация может быть осуществлена относительно любого
решения исходных уравнений (4.20).
Группу преобразований, под действием которых гамильтониан и уравнения
движения не изменяются, мы назовем симметрией системы. Как мы упоминали,
необходимое и достаточное условие того, чтобы действие непрерывной группы
было симметрией, состоит в том, что ее инфинитезимальное действие,
измеряемое здесь выражением 6(2) = dz/d0|e=o, является решением
линеаризованных уравнений движения. О самой функции cr(z) мы также будем
говорить как о симметрии.
Симметрии очень полезны. В гамильтоновых системах каждая симметрия
связана с интегралом движения (теорема Нё-тер), благодаря чему
размерность системы может быть уменьшена на два. В упомянутом примере
интеграл движения, связанный с группой вращения, является моментом
количества движения. Угловая переменная, соответствующая моменту
количества движения (одна из двух переменных действия в (4.19), другая
сам Н), может быть также исключена (она становится циклической или
несущественной в гамильтоновом формализме) путем соответствующего выбора
координат. Поэтому, фиксируя момент количества движения h, можно найти
редуцированное уравнение размерности два. Действительно, в этом случае,
используя полярные координаты г = (<7? + Ql)il2> получаем уравнение
из которого с помощью анализа на фазовой плоскости легко описывается
орбитальное движение частицы. Для некоторых потенциалов V движение r(t)
может быть точно вычислено в терминах известных функций.
166 Глава 4
Идея о том, что симметрия может быть использована для уменьшения
размерности механической системы, была известна давно [87]. Однако в
большинстве классических примеров симметрии были довольно очевидными и
имели простые геометрические интерпретации (движение инвариантно
относительно сдвига или вращения). Такими же представляются
соответствующие законы сохранения, которые имеют соответственно простую
физическую интерпретацию сохранения импульса или момента количества
движения. Однако в солитонных уравнениях дело обстоит не так просто. Я
уже обратил ваше внимание на то, что после первых двух законов сохранения
уравнения КдФ (которые соответствуют сохранению массы (или импульса) и
энергии) бесконечная серия, следующая за ними, не имеет физической
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed