Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
о *=1
C = (Crs),
(3.188)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 157
и требуется определить ри р2, ры') и, в частности,
N ^ } 2.V
Z V
Для ответа на этот вопрос нам следует обратиться к свойствам отображения,
носящего имя Абеля,
(р" ..., р*) -(0" 02, ..., 0lV), (3.189)
и к его обращению. Поскольку любая перестановка набора (1, ..., N) в
любой части (3.189) дает те же 0/, отображение осуществляется из R'XR'X
¦¦¦ X.R/Pn, т. е. из прямого произведения N идентичных римановых
поверхностей, профакторизо-ванных по модулю PN (группы перестановок N
символов), в CN, т. е. в УУ-мерное комплексное пространство. Поскольку
правая часть зависит от путей интегрирования, к 0, можно добавить
N
любую линейную комбинацию V (nt \ mt -- целые. Назовем
Ur-\- nii
где п{,
\иг=вг[
(3.190)
и примем без доказательства, что (Bri) - симметричная матрица и ее мнимая
часть положительно определена [85]. Вспомним
нормировку ^ Ur = 6ri, Поэтому возникающая в результате точ-
ai
ка в CN определена с точностью до целочисленной линейной комбинации из 2N
векторов:
о в
( N \
\ BNN /
Эти 2N векторов порождают решетку Л в CN ~R2N. Например, при N = 1
комплексная плоскость покрывается решеткой из параллелограммов периодов,
как известно из теории эллиптических функций. Таким образом, (рь ..., pN)
определена внутри УУ-мерного параллелограмма периодов, внутри которого
лежит точка (0i, ..., 0jv) , и не меняется при ее замене на конгруэнтную
1 0 \вп
0 В\2
> • • • ) 0 >
0 1 B\N
9 Эта задача называется задачей обращения Якоби. - Прим. перед-
158 Глава 3
точку в другом параллелограмме периодов. Следовательно, симметрические
многочлены от pf периодичны по всем 0*, и удобно отождествить
противоположные грани параллелограммов периодов. Теперь мы видим, что
точка (0ь ..., 0^) живет на N-мерном торе, называемом многообразием Якоби
кривой (3.148).
Конечнозонное решение для семейства КдФ поэтому эквивалентно линейному
потоку на многообразии Якоби. Решение q{x, tz, ¦¦¦) выражается через
риманову 0-функцию
q(x, t3, . ..) = 2^-ln0(0" 02...........0") + с, (3.191)
где
оо / N N ч
в(01, • • •, 0лг)= ? exp( 2 2ra'vft0ft + in 2 Bkl\k\A\ (3.192)
Vy, VjeZ \ft = l ft,/-=1 /
здесь Z - множество целых чисел, а с - сложная константа [85]. Отметим
тесную связь N-зонных решений с N-солитонны-ми. Отметим также, что т-
функция, определяемая по q = = 2((Э2/(Зх2)1пт, о которой я уже вкратце
говорил и которая будет наиболее важной функцией в оставшейся части этих
лекций, для конечнозонных потенциалов равна произведению 0-функции на
е(сИ)х\
ГЛАВА т-сЬУНКЦИЯ, метод ХИРОТЫ,
СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА ДЛЯ СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ
СЕМЕЙСТВА КОРТЕВЕГА - ДЕ ФРИЗА
4а. Введение. До сих пор мы придерживались той точки зрения, что класс
задач, которые мы пытаемся решать, это начально-краевые задачи. А именно,
во всех уравнениях мы считали х пространственной координатой, а в
качестве граничных условий рассматривали периодичность или убывание на
бесконечности. Такой подход выделяет в качестве первоочередной задачи, а
фактически делае4 необходимым изучение аналитической природы функций, с
которыми мы имели дело. Например, мы обнаружили, что если q(x, 0) убывает
достаточно быстро при х->-±оо и удовлетворяет некоторому интегральному
условию, то данные рассеяния обладают определенными аналитическими
свойствами. Но в действительности уравнения, которые мы изучаем, являются
"магическими" из-за своих локальных свойств; например, тот факт, что
уравнение КдФ имеет многосо-литонные и рациональные многополюсные
решения, никак не связан с граничными условиями и является просто
следствием весьма специфического равновесия, которое имеет место между
различными членами уравнения. Изменение этого равновесия добавлением
членов q или qqxx нарушает магические свойства уравнения. Изменение
граничного условия на бесконечности может сделать уравнение более сложным
с точки зрения решения начально-краевой задачи, но не разрушает его
свойства локальной интегрируемости.
Поэтому в данной главе мы стараемся сосредоточиться на тех методах,
которые зависят скорее от локальных, чем от глобальных свойств уравнений.
Центральной фигурой в списке действующих лиц служит т-функция, готовая
теперь предъявить свои права и потребовать, чтобы весь свет был направлен
на нее. Она является вездесущей и возникает почти в каждой сцене,
зачастую независимо от наших первоначальных намерений. Ей, по-видимому,
откуда-то известно, насколько она важна.
4Ь. т-функция. Эта многоликая функция была впервые открыта Хиротой как
средство порождения солитонных решений, и его метод мы будем обсуждать в
следующем разделе. Однако
160 Глава 4
ее подлинная значимость (и центральная роль в теории солито-нов) не была
понята до появления работы группы из Университета в Киото, включающей М.
Сато, Миву, Дзимбо, Касиверу, Дейта, Ю. Сато [39], и я полагаю, следует
честно признаться, что даже сейчас значение этой функции не понято до
