Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
двойственной к другой и поэтому является многообразием Пуассона, имеются
естественные гамильтоновы векторные поля или потоки. Векторные поля
являются солитонными уравнениями, если они порождаются специальным
набором (последовательностью) функций. Они являются переопределенной
бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с
бесконечным числом независимых переменных При желании выделить одну из
независимых переменных, скажем t\, которую мы затем назовем х, эти
уравнения можно использовать для выражения бесконечного числа зависимых
переменных в виде производных все более и более высокого порядка по х от
первых членов этой последовательности. Оставшиеся уравнения дают тогда
хорошо известную иерархию солитонных уравнений АК.НС; первым
нетривиальным ее членом является нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ).
Однако равно допустимо выбрать в качестве выделенной переменной х
переменную h, и в этом случае бесконечное число зависимых переменных
выражается как производные по х от первого и второго членов этой
последовательности. Оставшиеся уравнения тогда дают новую иерархию
солитонных уравнений; в этом случае они известны как иерархия НУШП
(нелинейного уравнения Шрёдингера с производной). В разделах, в которых
обсуждаются эти вопросы, мы также затронем связи между новой
гамильтоновой структурой, которая естественным образом связана с
алгеброй, и старой вариационной гамильтоновой структурой, знакомой из
предыдущих глав. В конце раздела, в котором очерчены эти идеи, я
приглашаю читателя попытаться (и
12 Введение
помогаю ему) выполнить несколько упражнений, в которых с этой точки
зрения выводятся уравнения для гармонического осциллятора и конечной
цепочки Тоды со свободными концами.
Оказывается также, что форма уравнений подсказывает идею ввести
потенциалы, которые заменяют бесконечное число зависимых переменных. Ими
являются т-функции Хироты (для si (2, С) существуют три из них, одна
"главная", называемая т, и две вспомогательные функции аир, хотя мы
увидим, что этот триплет лучше всего воспринимать как последовательную
тройку р, т, а бесконечной последовательности {тл}), и, будучи
выраженными через эти новые потенциалы, эволюционные уравнения являются
билинейными уравнениями Хироты. В этом разделе мы также введем обобщенные
потоки Fik = = {d2/dtjdtk) In т, которые играют очень важную роль во всей
теории.
В последующих разделах этой главы с чисто алгебраической точки зрения
продолжаются обсуждения калибровочных преобразований, преобразований
Бэклунда и Шлезингера, метода обратной задачи и проблемы Римана -
Гильберта, а также другие разнообразные вопросы, объединившиеся под
зонтом нашего нового подхода. Более подробное обсуждение этих вопросов
откладывается до пятой главы, а сейчас я хочу обсудить с вами немного
подробнее значение открытия солитона и его влияние на другие разделы
физики. Однако, прежде чем это сделать, я хочу, чтобы в вашем сознании
нестираемо запечатлелась одна мысль. Она состоит в том, что солитонные
уравнения являются магическими исключительно по алгебраическим причинам,
которые должны проявляться в структуре уравнений в виде весьма
специфического отношения между функцией и ее различными производными. Не
требуется никаких глобальных свойств, чтобы обеспечить особую значимость
этого отношения.
Дальнейшее обсуждение. Солитон сам по себе является драматически новой
концепцией в нелинейной теории. В нем наконец на классическом уровне
реализуется объект, существование которого специалисты по теории поля
постулировали многие годы: локальный бегущий волновой импульс, компактная
когерентная структура, удивительно устойчивое решение полевого уравнения
и частице-подобные свойства. Он существенно нелинеен и возникает
благодаря равновесию двух сил; одна из них линейна и стремится размазать
импульс, другая является нелинейной и сжимает его. До появления солитона
физики часто говорили о волновых пакетах и фотонах, которые являлись
решениями линейного не зависящего от времени уравнения Шрёдингера. Но
такие пакеты всегда будут расплываться за время
Введение 13
обратно пропорциональное квадрату ширины пакета в ?-про-странстве.
Нелинейность существенна для прекращения и уравновешивания дисперсионного
расплывания. В одномерии взаимодействие дисперсии и сжатия волновых
пакетов описывается нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ)
2iqt + qxx + 2q2q' = 0, (1)
которое описывает эволюцию огибающей q(x, t) цуга волн (в системе
координат, движущейся с групповой скоростью несущей волны). Оно является
универсальным уравнением нелинейной физики и возникает в огромном
разнообразии ситуаций: в нелинейной оптике [19], в теории волн на
глубокой воде [59], при описании переноса энергии вдоль а-спиралей белков
[112]. Оно не только универсально; легко предсказать условия, при которых
оно возникает.
Хотя НУШ первым появилось среди солитонных уравнений [21], но
родоначальником солитона стало не оно, а знаменитое уравнение Кортевега -
