Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 41

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 113 >> Следующая

Гамильтона более общепринятой является запись Z = /V#, где Z = таких
системах
q и г являются сопряженными переменными, а сохраняющаяся
оо
два-форма имеет вид ^ br hbqcLx, где использовано обозначе-
- оо
ние бглб<7для 6ir62<7 - b2rbiq, и 61 и 62 обозначают независимые
вариации. В-третьих, это особая роль переменной х в вышеприведенных
формулах: например, все коэффициенты в Qr являются производными по х.
Заметьте, однако, что в Q3 коэффициент перед Е может быть записан как
производная по t2 вида (i/2)qt2. Кроме того, все законы сохранения имеют
вид
-^-(сохраняющая плотность) = (поток).
В действительности, есть много других соотношений вида
5 р ^ р
W, kl =~Щ ll'
Читатель может возразить, что особая роль х связана с тем, что область
интегрирования, входящая в определение Fn, расположена на оси х, в то
время как эволюция по всем временам
локальна. Все это верно, однако вспомните, что 8Fn/Sq - это
00
всего лишь символ, обозначающий ? (-djdxY (dF/dq^)t где
о
q(r) = drq/dxr, и все возникающие при этом члены чисто локальны.
В-четвертых (и это замечание позволит нам по-новому взглянуть на вещи),
должны выполняться равенства
Q?! - Q(Pk + \Ф\ Q(/)] = о, (3.46)
106
Глава 3
являющиеся условиями совместности всех уравнений
Vtk = QWv.
(3.47)
Теперь вспомним, что Q</> - это полином по ? степени /. Разделим (3.46)
на ?/ и в получившемся уравнении сделаем предельный переход /-> оо. Если
мы обозначим
то из (3.46) получим поскольку ? предполага-
Теперь уравнения для всех потоков приобрели гораздо более алгебраическую
структуру и одновременно форму Лакса (хотя здесь Q представляет собой ряд
Лорана по ?, а не дифференциальный по х оператор). Уравнение (3.49)
допускает решение
где V удовлетворяет (3.47), a Qo - произвольная постоянная матрица, не
зависящая от tk. Часто принимают такую нормировку V, в которой Q0 = -Ш. В
других случаях Q0 записывают как Q(0) - значение Q при каких-то значениях
х и tk (напомним, что х и t\ можно поменять ролями).
Упражнения Зс
1. Прямым вычислением докажите, что qtj3 = qtj,.
2. Попробуйте найти для Q решение вида Q(-1) = (!/?) Q-i и получить из
него уравнение sin-Гордон
Указание: возьмите -q = г = их/2\ что произойдет, если взять q = г =
их/2?
3. Заметьте, что если наложить ограничения типа q - г, то они согласуются
лишь с некоторыми из потоков. Например, если вначале было г = ±q, то все
четные потоки (т. е. tin) разрушают это соотношение, а все нечетные (т.
е. Un+\) сохраняют его. Противоположное происходит при г = ±<7*.
4. Найдите линейные комбинации чистых потоков QO>, Q<3> и приводящие к
уравнениям
(3.48)
ется большим)
Qtk = [Q(ft). Ql
(3.49)
Q - V Q0y_!,
(3.50)
uxt_x = sin u.
a) qt = Tqx + 4(qxxx + 6q2qx)
b) uxt = sm'u + uxxxx + ^ulux
2 xxx'
Семейства солитонных уравнений и методы их решении
107
То есть найдите такую комбинацию Q = aQ(1) + PQ + vQ(_I). чтобы условие
разрешимости уравнений V( = Ql/ и (3.31) при г--q давало соответственно
(а) и (Ь).
5. Если считать, что параметр ? зависит от времени так, что
?t=?a(?'', то в результате получается уравнение с завися-
о
щими от х коэффициентами. Покажите, что эволюционное уравнение,
соответствующее Q = Q<2> - ixaH (член it,t, здесь принятый равным /а, а
вещественно, добавляется в левую часть первого уравнения (3.34)), имеет
вид
Pt = у (Яхх - 2Я2г) - 2iaxq,
rt=~Y [г хх - 2 qr2) + 2/cur.
Это позволяет нам изучать влияние градиента плотности в тех задачах, к
которым применимо НУШ. Это влияние приводит к тому, что точки дискретного
спектра (который был введен в гл. 1 и который мы более подробно
рассмотрим в следующем разделе), бывшие до сих пор неподвижными, начинают
двигаться предписанным образом. (См. [75].)1)
6. Рассмотрите задачу на собственные значения
/*PiS Р Я \ з Vx= ±Р* "РаС г И/, ?р,-0
\±Я' ±г* ' '
и покажите, как выбрать Vt так, чтобы в результате получились одномерные
уравнения трехволнового взаимодействия, а именно pt + С\рх = diq*r* и еще
два уравнения, получающиеся циклической перестановкой р, q и г.
7. По поводу общей (лХ") матричной задачи вы можете обратиться к работам
[76] и [77].
]) Решаемые методом обратной задачи уравнения с переменными
коэффициентами возникают в двух эквивалентных подходах: а) когда
спектральный параметр зависит от координат и б) при введении в (Я, Q)-
napy производной по спектральному параметру. Уравнения такого типа
впервые появились, по-видимому, в работах [3*] и [4*]. В общей постановке
такие системы и их физические приложения изучались в серии работ [1*,
2*]. Подход б) важен в теории симметрий солитонных уравнений: если задана
иерархия, порожденная некоторым Я-оператором, то с помощью техники
инфинитези-мального одевания можно для любого входящего в нее уравнения
построить бесконечную серию дифференциальных (по спектральному параметру)
Q-one-раторов, определяющих бесконечномерную алгебру некоммутативных
симметрий, содержащую данную иерархию в качестве коммутативной подалгебры
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed