Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предполагается, что плоскость (х, t) разбивается на области, в каждой из
которых осуществляется одно-, двух- или многофазный поток.) Какие еще
могут быть типы поведения на больших временах? Мой аспирант Кришна [67]
численно проинтегрировал уравнения Уизема для широкого класса начальных
условий, при которых огибающая быстрых колебаний стремится к нулю на
бесконечности, и в этих условиях применим метод обратной задачи
рассеяния. Он получил, что в случае однофазного решения характеристики,
принадлежащие двум или трем семействам, превращаются в параллельные
прямые по мере увеличения времени. При этом уравнения становятся не
гиперболическими, а скорее параболическими. Линии в плоскости (х, t),
вдоль которых образуются параллельные характеристики, соответствуют
скоростям уединенных волн, получающихся при решении начальной задачи.
Упражнение 2е
Полагая А->~2еА, решите подправленные уравнения Уизема ш* _ k2 = 1 -
ЗуЛ2е2 + ,
й, + юх = 0, (соЛ2), + (kA2)x = 0
итерациями, полагая со = coo + ecoi + е2со2, k = k0 + гК. Покажите, что
coo, ko должны быть константами (в противном случае образуются скачки),
соо = &о+ 1, Q\ = k0K/(r)o и как А2, так и К являются функциями от % = х -
(&о/соо) t и т = it Вводя К = q>v
92
Глава 2
получаем
что вместе эквивалентно НУШ для а = Ае'Y
2f. Другие канонические уравнения. Есть много других важных в физике
уравнений, проявляющих солитонные свойства. Список ссылок содержит много
обзорных статей, специальных изданий, труды конференций, и читатель при
желании может заняться поисками интересующего его уравнения. Тем не менее
есть еще два уравнения, заслуживающие особого упоминания из-за их
распространенности.
Одно из них - это уравнение sin-Гордон. Оно встречается в нелинейной
оптике (в модели распространения импульсов в резонансной среде), в физике
конденсированных сред в магнетизме, где оно моделирует волны зарядовой
плотности в периодическом потенциале подложки и спиновые волны в жидком
гелии-3. В сверхпроводимости оно описывает динамику джозеф-соновских
контактов, в статистической механике оно возникает при описании
критической области в моделях типа модели Изинга. Причиной такой
вездесущности является то, что многие системы оказываются эквивалентны
динамической системе с лагранжианом, состоящим из кинетической энергии
и
потенциальной, состоящей из двух частей - упругой энергии, которую в
непрерывном пределе можно описать членом
1 2 Г 2 .
Y С ^ фх dx,
и потенциала, создаваемого некоей наложенной решеткой. Часто наилучшим
приближением для этого потенциала является
в>2р ^ (1 - cos <p)dx.
Нетрудно видеть, что из этого лагранжиана получается уравнение Эйлера
вида
Фн - с2<рхх + сор sin ф - 0. (2.96)
Обсуждение и перечень задач, в которых появляется уравнение (2.96), можно
найти в [68], [69], [19], [71].
Второе из упомянутых уравнений - это не одно уравнение, а система,
описывающая резонансное взаимодействие трех волн*
Вывод уравнения Kopteeei а - де Фриза
93
Эту систему можно записать в виде [53] дА,
-gf + c,- VA, = 0jklA\Ah (2.97)
где (/, k, /) -циклические перестановки (1, 2, 3), Aj(x, t) - медленно
меняющаяся огибающая волнового пакета с основной гармоникой е'(к>х~а1*\
со/ == со (Л:/), с/ - линейная групповая скорость Vo)/. Левая часть
получается из тех простых соображений, что в порядке в (здесь в -
спектральная ширина пакета с основным волновым числом k) огибающая а(Х,
Тi), входящая в НУШ, удовлетворяет -|- а'ах - 0. Правая часть возникает
из квадратично нелинейных членов, которые в слабонелинейной системе
соответствуют наиболее сильному взаимодействию с резонансными
соотношениями
kj + к2 + кз - 0, ш (ki) (r) (к2) (r) (кз) = 0. (2.98)
В терминах дуализма волн и частиц (2.98) описывает сохранение импульса и
энергии в трехчастичных столкновениях.
Структура (2.97) такова, что нас не должна удивлять та важная роль,
которую эта система играет в тех областях физики, в которых доминируют
волновые процессы. По существу она описывает перераспределение энергии по
спектру вследствие нелинейных резонансных взаимодействий. Она появляется
в физике плазмы, в волнах в атмосфере и океане. (Иногда линейное
дисперсионное соотношение ш(к) не допускает (2.98) ни для каких триад
волновых векторов кь к2, к3. В этих случаях перераспределение энергии
осуществляется в следующем порядке за счет четырехчастичных процессов,
как, например, для поверхностных гравитационных волн.)
Наилучшим подробным обзором по (2.97) и ее свойствам интегрируемости (при
определенном выборе 0ш она точно решаема) является статья Каупа, Римана и
Берса [72]. (По поводу ее решения см. [74].)
ГЛАВА СЕМЕЙСТВА СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
За. Введение. В этой главе мы коснемся четырех тем. В разделах ЗЬ, с
используются традиционные и несколько скучные методы идентификации
семейств нелинейных интегрируемых дифференциальных уравнений в частных
производных. В разделах 3d, е, f мы довольно глубоко обсудим метод
