Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соотношения, в то время как в НУШ она живет достаточно независимой
жизнью, являясь решением дифференциального уравнения в частньтх
производных
82 Глава 2
Почему же теория Уизема не содержит НУШ? Трудность состоит в том, что при
конечной амплитуде условие разрешимости в порядке е меняется таким
образом, что ядро линейного оператора, действующего на первую итерацию
решения, составляет лишь половину (оно одномерно) ядра, которое возникло
бы, если бы А было мало. Это приводит к тому, что появляется только одно
уравнение сохранения волнового действия, которое является уравнением на
фазу волны и соответствует мнимой части НУШ, определяющей фазу <р
комплексной амплитуды (огибающей). Амплитуда А уже зафиксирована
дисперсионным соотношением. Что же происходит при малом А? В этом случае
оказывается, что дисперсионное соотношение нужно дополнить, чтобы
удовлетворить дополнительным условиям разрешимости. Дополнительные члены
содержат производные от А, поэтому то, что было алгебраическим
соотношением, определяющим А как функцию со и k, теперь превращается в
дифференциальное уравнение на А. Это уравнение соответствует амплитудной
части НУШ. Мы сейчас приведем модификацию теории Уизема, объединяющую ее
с НУШ и равномерно пригодную при малой амплитуде. Идеи, которые использую
я, базируются на разложениях, использованных Абловицем и Бенни в работе
по многофазной теории Уизема [62]. Как Абловиц и Бенни, так и Мей Г63]
указали области потенциальной неприменимости теории Уизема и
идентифицировали соответствующие члены. Более того, сам Уизем показал,
как включить эти дисперсионные члены более высоких порядков в технике
усредненных лагранжианов (см. [55], с. 503 русск. изд.).
Интересно отметить, что точно такие же трудности возникают при
макроскопическом описании систем, далеких от равновесия, описываемых
посредством параметра порядка. Вдали от фазового превращения амплитуда
параметра порядка определяется алгебраически модулем градиента фазы
(выражение, аналогичное нелинейному дисперсионному соотношению или
уравнению эйконала), в то время как вблизи критических значений
бифуркационного параметра (являющегося мерой наложенного на систему
внешнего воздействия - так же, как число Рэлея в задачах конвекции
жидкости или как температура в магнетизме) амплитуда становится малой и
удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных. Это
уравнение аналогично НУШ и, рассматриваемое совместно с соответствующим
уравнением для фазы параметра порядка, известно как уравнение Ландау -
Гинзбурга. Читатель, заинтересовавшийся этими замечаниями, может найти
более подробное обсуждение в [64]. Мы же теперь проиллюстрируем эти
замечания на двух конкретных примерах.
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза
83
Выбор первого примера достаточно очевиден, поскольку в нем возможны
решения вида / (0) = Аеш, что делает все вычисления явными. Рассмотрим
комплексное скалярное поле и(Х, Т), описываемое уравнением
где f(@) = Aete и &x = k, &t - - со и А - функции от х - еХ и t - гТ.
Производные д/дТ, д/дХ перепишем как -cod/дв + + ed/dt, kd/dQ + ъд/дх
соответственно. Подстановка в (2.60) дает
Если бы мы позволили периоду быть произвольной функцией х и t, то при
вычислении диа/дх появились бы члены вида /v*0, возникающие в следующем
порядке, и оказалось бы невозможным найти "1 с тем же периодом, что и uq.
Это аналогично первому шагу метода В КБ, в котором очень важно выбрать
правильный масштаб быстрого времени.
Уравнение (2.64) -это дисперсионное соотношение, определяющее А как
функцию от и и А. Однако в этом месте мы не будем прямолинейны, а
последуем по пути, предложенному Аб-ловицем и Бенни [62], рассматривая
(2.64) как главный порядок в разложении по амплитуде:
итт - ихх + со2 (1 - р"и*) и - 0.
(2.60)
Мы ищем решения вида
и (X, T) - f (0, А) + гщ + е2и2 + ...,
(2.61)
+ е? (ж ~ ж) + К 0 ~ Р"о"о - еР ("о"1 + uo"i) -
(ыц -(- eUj -(- 62ы2 "Ь • • •) == 0. Первый порядок в этом уравнении дает
(2.62)
("2 - k2) + со2 (1 - рыХ) ий = 0,
(2.63)
что приводит к решению
с наименьшим периодом 2я, если только v = 1, или
со2 - k2 = со2 (1 - РА2).
(2.64)
Ш2 - k2 - сор(1 - рл2) = eg<l) + e2g<2> + .... (2.65)
84 Глава 2
Теперь (2.62) принимает вид
1)-'г(2"аГав+"<'35' +
+ 2*lfW + *" ж) + + ***> W +82 (ж - ¦&) -
- есо2р (и{1и\ + "*",) - е'ЛУр (ы0ы* + н'и, + ","*) } X
X (По -|- "Е "Е ¦ • •) ::;=: 6.
Члены первого порядка дают и0 - Ае'в. Следующий порядок дает
^ (1 - м2) (^г + 1) - со*р (пи"; + Ufa) р0 =
,>*0
= ((соЛ2), + (М2) J + g('Me/e>
откуда мы получаем g(I)=0, "1 = 0 и
(<оЛ-)* + (kA2)x - 0. (2.66)
Условие (2.66) необходимо, поскольку иначе ~ 0е<0; удобно выбрать ~ 0,
после чего как следствие получаем "1 = 0. В порядке е2
<*1 (1 - рЛ2) (-^а + 1) - ЧР (uuul + ufa) п0 =
-е'в{-&~^)А + еШё(2)Л. (2.67)
И здесь нам потребуется некоторое искусство. Заметим, что любое решение
и.2 вида еш уничтожает правый член в левой части (2.67). Поскольку правая
