Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 33

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 113 >> Следующая

процесс, описанный в предыдущем абзаце. Причиной неустойчивости является
отток энергии от основной волны к распространяющимся под углом побочным
гармоникам, вступающим вместе с основной волной в четырехволновой
резонанс. (См. книгу Уизема [55], в которой обсуждается предложенный
Филлипсом четырехволновой резонанс.)
Замечание. Удивительно, но неустойчивость волны Стокса не была открыта,
пока не были выполнены эксперименты Бенджамина и Фейра. (Читатель может
также обратиться к работе М. Дж. Лайтхилла в Proc. Roy. Soc. А, 299, pp.
28-53.) Формальный метод построения несинусоидальных периодических
решений был предложен Стоксом в 1849 г. (Дж. Дж. Стокс, On the theory of
oscillatory waves, Trans. Cambridge Phil. Soc., 8, pp. 441-455), а
доказательство сходимости ряда для пологих волн было дано Т. Леви-Чевита
(Math. Ann., 93, pp. 264-314) в 1925 г. Хороший обзор роли НУШ в описании
неустойчивости и сравнений с экспериментами содержится в [59].
Упражнение 2d
Включите члены с квадратичной нелинейностью в (2.56а) и покажите, что
ат - z'eV2a - щА - О,
(2.58)
prr-cVp = V2(AA*), V2 = ^ + -^-.
ат -- iaxx + iayy - 2 ia2a* = О,
80
Глава 2
где
ч-4- А> (Щ\ - КА (Щг - -яг (Щт - < (Щг-
Заметьте, что если |3<о'' <0 и мы рассматриваем однонаправленные решения,
то
А = А(Х = 1 - сТ, еТ), с2 - -К=-Ц- ДД Q = -2КЧ(А2)хх,
и нелинейный вариант (2.56а) -это уравнение Буссинеска. Заметьте также,
что солитоны у возникающего в результате уравнения КдФ возможны только,
если К < 0. Так как такие солитоны представляют собой локальное
уменьшение интенсивности монохроматической до этого волны, то они
называются темными солитонами. Покажите также, что если |Зсо'' < 0, то
(2.52) имеет решения
(. W i (у + V'/i) а=--рехр^Ф + -2|----------2Г------)'
Р2 = Ро - "2 secfl2" ---Т) ,
Фх = -^-- ~ Ро (Ро °2)'
Y +-х = 3р^-а2.
Заметьте, что когда a'!->p('(, h-> 0, то
( У< Л
p->p0thp0^ j- Т)' Ф==(Ро-
2е. Теория Уизема [55]. В середине 1960-х годов была создана другая
остроумная теория для описания распространения сильнонелинейных, почти
периодических цугов волн. Эта теория существенно связана с именем Уизема,
хотя некоторые идеи были независимо развиты Крускалом при его попытках
понять, что происходит в районах осцилляций, появляющихся при решении
задачи о решетке Ферми - Паста - Улама. Идея чрезвычайно проста.
Представим себе, что у уравнения в частных производных существует 2я-
периодическое бегущее волновое решение /(0, A), (c) = kX - соГ, А -
постоянная амплитуда, возникающая как константа интегрирования. Тогда
можно строить более широкий класс решений, получающихся из вышеупомяну-
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 81
того в предположении, что входящие в него константы - волновое число Вх =
k, частота 0Г = -со и амплитуда А - могут быть медленно меняющимися
функциями координаты X и времени Т. Уравнения на k, со и А как на функции
от х - %Х, 1 = вТ, О < е <С 1 получаются следующим образом.
Во-первых, поскольку со и k получаются из потенциала (фазы 0), имеем
kt + со* = 0, (2.59)
т. е. закон сохранения волнового числа. Во-вторых, после подстановки
решения в виде такого анзаца в уравнение с частными производными,
получается обыкновенное дифференциальное уравнение по 0 на f(0). Мы
знаем, что оно имеет периодическое решение вследствие нашего
предположения о существовании у исходного уравнения в частных производных
решений в виде периодической бегущей волны. Наложение условия
периодичности с фиксированным периодом (обычно выбирается 2я) дает
алгебраическую связь между со, k и А, которая называется дисперсионным
соотношением. (Очень существенна фиксация периода. Если допустить, что
период является медленно меняющейся функцией, невозможно контролировать
рост следующих приближений.) Поскольку эти параметры меняются медленно,
то в уравнении с частными производными появляются 0(g)-члены, содержащие
первые производные от k, со и А по х и t. Требование, чтобы следующая
итерация, удовлетворяющая линейному обыкновенному дифференциальному
уравнению по 0 с коэффициентами, зависящими от f и его производных, также
была 2я-периоднческой, дает условие разрешимости этого уравнения. Это
условие является дифференциальным уравнением в частных производных
первого порядка на k, А п и и выражает сохранение волнового действия.
Таким образом, возникает три уравнения, одно алгебраическое и два
дифференциальных, на три неизвестных k, со и А.
Далее, мы уже видели в разд. 2с, что слаболинейная огибающая несущей
волны также характеризуется тремя параметрами-Л, k и со (см. уравнения
(2.49) - (2.53)), связанными посредством НУШ. Являются ли эти описания
эквивалентными в том смысле, что последнее возникает из теории Уизема в
пределе малой амплитуды? Ответ отрицательный. То, что НУШ как
слаболинейная теория не может включать себя пригодной при любых
амплитудах теории Уизема, очевидно. С другой стороны, в теории Уизема
амплитуда -определяется алгебраически из нелинейного дисперсионного
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed