Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
конечно, то возникающий волновой пакет разбивается на последовательность
импульсов специального вида - солитонов нелинейного уравнения Шрё-
дингера, описываемых формулой (2.51). Если же источник действует
непрерывно с постоянной по времени или периодической амплитудой, то нам
нужно решать такую краевую задачу с начальными данными, в которой
амплитуда а(Х,Т) периодична по Т. Поэтому, поскольку профиль
эволюционирует по X, можно ожидать возвращаемость того же типа, что и в
уравнении КдФ. Разница состоит только в том, что здесь поле периодично по
времени и квазипериодично по пространству. А именно, вначале волновой цуг
разбивается на несколько изолированных импульсов, однако потом, при
некотором большем значении координаты, они вновь собираются, воспроизводя
начальное (как функцию времени при х - 0) условие. Эта возвращаемость и в
самом деле наблюдалась, и я отсылаю читателя к статье Юэна и Фергюсона
[60].
Если рсо" < 0 и мы создаем малое длинноволновое возмущение огибающей, то
это возмущение будет распространяться в соответствии с уравнением КдФ.
Читатель может увидеть линейную часть решеточного уравнения (1.3) в
(2.56а). В качестве упражнения я попрошу вас учесть нелинейные члены и
вывести соответствующее уравнение КдФ.
Неустойчивость Бенджамина - Фейра (ее иногда называют также
модуляционной) широко распространена в физике и играет важную роль в
разнообразных нелинейных волновых уравнениях. Попросту говоря, если
дисперсия и нелинейность противодействуют друг другу, монохроматический
цуг волн не хочет оставаться монохроматическим. Побочные, гармоники
вытягивают энергию из несущей волны с помощью резонансного механизма, что
приводит к модуляции огибающей. В одномерной задаче модуляция огибающей
постоянно растет вплоть до образования солитона, после чего наступает
точный баланс нелинейности и дисперсии и дальнейшее искажение больше не
происходит.
В двумерных задачах, если произведение р на дисперсионный тензор
д2а>/dkrdks, г, s - 1,2, является положительно определенной матрицей,
процесс фокусировки продолжается непрерывно, пока не образуется локально
бесконечная амплитуда, что происходит за конечное время. В контексте
нелинейной оптики такое нитеобразование наблюдалось, а форма этих нитей
обсуждалась в работе Захарова и Сыпаха [61]. Рассмотрим
78 Глава 2
Я (г. 0. подчиняющуюся уравнению
2^< + V2? + Р (ЯЯ'Т 0 = 0. у которого имеются следующие интегралы
движения:
N (Я, Я*) = J ЯЯ' dx,
Р (Я. 0*) = J у (0V0* - 0*V0) dx,
И {Я,.Я) = у J (l V0 Р - ^ Г+г)
Пространственная размерность задачи п, а о измеряет степень нелинейности.
Для о<.2/п можно доказать глобальное по времени существование решения
q{r,t). В интересующем нас случае п = 2, а=1, так что о = 2/п и это
значение о критическое. В одномерной задаче критическое значение о равно
двум. Теперь, если N(q(г, 0), q*{r, 0)) меньше No-критического значения,
получающегося подстановкой в N{q,q*) сферически симметричного решения <7
(г, t) = eit/2R( |г|) с везде положительным 7?(|г|), с /?'(0) = О,
R(0)=оо и удовлетворяющего V2R- R + + p/?2o+1 = 0, то снова q (г, t)
существует при всех временах, если только <7 (г, 0) удовлетворяет весьма
слабому условию
J (l<7l2 + IV<7l2)dx< 00.
Читателю для самопроверки следует доказать, что
~ШГ S г2ЯЯ' dx - 4Я. (2.57)
Заметим, что если <7 (г, 0) таково, что Я, интеграл движения, отрицателен
(Я в точности равен нулю, когда q (г, t) = _ e'*/2fl(|r|)), то
положительная по своей природе величина
^ r2qq* dr становится за конечное время отрицательной. Поскольку это
невозможно, мы приходим к выводу, что до этого в q{r,t) должна
образоваться сингулярность в |г| =0. Это та самая сингулярность, которая
обсуждается в [61]. Основной вывод таков, что вблизи времени схлопывания
t - tQ амплитуда <7(r, t) при п - 2 имеет аксиально симметричную форму,
пропорциональную М?(А,|г|), где X(t) - (t - to)~2/3. Для того чтобы
учесть разницу в плотности числа частиц между решением в начальный момент
времени и решением Я,7?(Я,|г|) (победнее несет в себе N о частиц),
необходимо к этому центральному пику добавить шельф, который на больших
расстояниях почти постоянен по |г|, а потом внезапно исчезает при пока
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза
79
что невычисленном значении. Эти последние замечания основаны на
наблюдениях над численными экспериментами и некоторых теоретических
работах. Структура охлопывающегося решения при критическом значении а = 1
пока в точности не известна. Неизвестно также, схлопываются ли за
конечное время решения уравнений Захарова в двух пространственных
измерениях, т. е. уравнений
Для этих уравнений нет соотношения, эквивалентного (2.57).
И наконец, если соответствующее НУШ имеет незнакоопределенную
дисперсионную матрицу, как в случае гравитационных волн на глубокой воде,
где
то солитон, образовавшийся вдоль оси х, будет неустойчив к зависящим от у
возмущениям, однако это разрушение протекает менее драматично, чем
