Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
и мод излучения. Для каждого солитона первоначальное поле u{x,t) имеет
вид
и (х, 0 = 2 /^| | er| sech 2er| (jc - со' (6 - 2ие) t - х0) X
X exp-{i (k - 2ne) x - ia (k - 2ue) t + 2гсо"т|282^}. (2.51 b)
Это выражение показывает на основной недостаток НУШ как модели для
физических задач. В то время как скорость распространения фазы колебаний
зависит от амплитуды (от г]), скорость амплитудного импульса (солитона
огибающей) от т] не зависит. Параметры солитона v, т| определяются (так
же, как и а'о, <ро) начальными данными q(x, 0) (они аналогичны величине
Х>к - Щк для уравнения КдФ), однако, как видим, скорость в аргументе
гиперболического секанса есть линейная групповая скорость с волновым
числом k - 2ое. Трудность состоит в том, что разложение выполнялось так,
чтобы вычислить фазу с точностью до 0(е2), однако фаза гиперболического
секанса имеет е в качестве общего множителя. На самом деле было бы
желательно получить выражение для фазы с точностью до е3, т. е. в виде
2ет) (* - со' (k - 2пе) t - О (в2/)).
Последний член будет тогда зависеть от т). Без сомнения, это все можно
проделать, однако при этом мы получим другое уравнение, являющееся
возмущением НУШ и уже не принадлежащее к точно решаемым. Тем не менее в
некоторых обстоятельствах нужно пожертвовать математическими удобствами
точной решаемости, чтобы отразить существенные физические свойства
моделируемой системы. Иллюстрацией к этому служит драматическая история
изучения туннелирования солитонов. Более подробно с этим вопросом можно
познакомиться по [52].
Упражнения 2с
1. Показать, что период колебаний маятника с максимальной амплитудой А
есть
: л/2
rjt 4 f cicp п * о А
Т - -- \ -У- ¦===-, m2- sin2-=-.
- Юр J Y1 -- m* sin*<p 2
Показать, что для малых А эта формула согласуется с (2.34),
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 69
2. Вывести НУШ для следующих примеров:
(i) utt - ихх + (1 - ии) = 0, и - комплексное скалярное
поле.
(и) ut + иххх = -6авиих. Заметьте, что в этом примере ы = const
удовлетворяет линейному уравнению, и ы0 = ае'е + (*), 0 = kx - (ot, ю = -
&3. В порядке е получите аГ[ - 3k2ax = 0 и и1 = Ь(Х, Ти Т2) + (<*/?2)
aV/e + (<*/?') а*2е~ш. В порядке е2
, ди0 0 д3и0 ди1 0 дги,
"2< "I- ^2ХХХ - dTj -з a7-t 3 Зл. ах-
~5аТх (U°Ul) ~&аТх аа%'
Исключите в правой части члены, пропорциональные е±/е и е°, с помощью
надлежащего выбора ат2 и ftri. Вы получите, что ЬГ1 = -6а(аа*)х = (-
2a/k2)(aa*)Tj и поэтому b = (-2ajk2)aa. Получите также условие aT2-\-
3ikaxx - (&a2jk)-ia2a' - 0. Обратите внимание на члены вида a2e2ieae~{e и
aemb, из которых возникает нелинейность в уравнении. Убедитесь в том,
что, если вы не учтете вклад Ь, знак нелинейного члена будет
противоположным, что приведет к полностью ошибочным выводам.
(iii) utt - с2ихх + уихххх = е$ихихх,
uQ = aeie + ае~т + Ь\ Ъ = кх - Ы\ (c)2 = c2k2 + yk*,
""= "W aVJe + a*2e~m> ат1 + (r)Чг = °-
В порядке 0(е2) устраните секулярные члены и получите, что ar + coax-e[-
axx-^-abx +-JL-.a2a J=0, bTT - c2bxx - $k2(aa*)x, T = et, X = ex.
Положите bx - p и перепишите систему в виде
аг + ша*-е(-га**--^ар+_^_а2а j=0>
Ргг с2Рхх - Рk2'(aa )хх.
Сравните эти уравнения с взаимодействием ленгмюровских и ионно-
акустических волн в плазме, применительно к которому Они называются
уравнениями Захарова [58]. Правая часть в уравнении для среднего поля
b{X, Т) возникает вследствие
70
Глава 2
так называемой пондемоторной силы. Это уравнение можно записать как
п Л - №((аа')хх-Щс>)(аа')тт)
Ртт - срхх J _ ал/С2 Ь
поскольку (аа*)т - - а>'(аа*)х + 0(e). Поэтому та часть среднего поля,
которая индуцируется малыми градиентами огибающей быстрого поля, может
быть получена в явном виде:
Следует отметить возможность резонанса, когда групповая скорость быстрого
поля совпадает с фазовой скоростью длинных волн, или среднего поля.
Читатель может почерпнуть подробную информацию об этом резонансе в
статьях Бенни (Stud. Appl. Math., 55 (1976), pp. 93 ff; 56 (1977), pp.
81-94) и Ньюэлла (SIAM J. Appl. Math., 35 (1978), pp. 650-664). Теперь
можно переписать уравнение для огибающей а(? = Х - юТ, т = гТ),
W , t'P*fe2 м" 9 "
ах-------а.. Н--------в г а а = 0.
т 2 66 12у со - с*
И наконец, комментарий к уравнениям Захарова. Если в нашем примере мы
включили бы второе пространственное измерение,
ии - cVu + уV*u = еруы • V (Уи),
V - (d/dx, д/ду), то мы не смогли бы так просто выразить среднее поле р
через аа*. Причина этого состоит в том, что в двумерном случае (см.
обсуждение в разд. 2d) "уединенная волна" коллапсирует, и аргумент
огибающей не является больше равномерно постоянным на характеристике
групповой скорости нигде, кроме начальной стадии. По мере развития
коллапса огибающей и среднего поля приближения, в которых были выведены
уравнения, теряют силу и становится необходимым учесть члены, отброшенные
при анализе. Тем не менее поведение решений уравнений Захарова часто
рассматривают как указание на то, что происходит в реальных ситуациях.
