Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 27

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 113 >> Следующая

волны. Теперь естественно также ожидать, что постепенно нелинейные члены
будут модифицировать эти движения, так как мы знаем, что период
нелинейной пружины (так же, как и период одного маятника) зависит от
амплитуды. Чтобы найти эти изменения, будем искать решения (2.29) в виде
и = + е2"2+ •••). (2.31)
где
и0 = ае1кх~ш + а*е~1кх+ш, (2.32)
и мы считаем, что а может быть медленной функцией времени, at = еЛ] (а,
а) + е2А2 (а, а) + ----------------------------- (2.33)
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза
63
Коэффициенты Aj(a,a*) выбраны таким образом, чтобы подавить секуляриое
поведение1) и\,и2 Если бы мы пользовались обычным методом многих
масштабов, нам следовало бы записывать Ах как да/дТ\, Ti = st, А2 - как
да/дТ2, Т2 = гЧ и т. д. Решая (2.29) итерациями, получаем щ = О,
и период движения возрастает2). В контексте волн на воде решение,
вычисляемое таким способом, называется волной Стокса. Читатель при
желании может вычислить период колебаний маятника с максимальным
отклонением 2е|а0| через эллиптический интеграл и проверить, что в
результате разложения по амплитуде получится (2.34) (см. упражнение
2с(1)). Отметим, что при всех этих вычислениях пространственная структура
еШх играет пассивную роль. Если ш фиксировано, то в соответствии с (2.30)
фиксировано и k. Но поскольку колебания со строго фиксированной частотой
создать невозможно, то спектр частот колебания будет иметь хоть и малую,
но конечную ширину р. Как учесть это в нашем описании? Один из способов -
это искать решение Uo в виде конечной суммы волн
Но этот подход громоздок и приводит к системе связанных нелинейных
уравнений на амплитуды а/, что не слишком проясняет ситуацию. Другой
способ, на который указывает нам (2.35), состоит в поиске решения в виде
волны, амплитуда которой а является медленно меняющейся функцией х и
времени, был первоначально предложен в [53]. Наиболее интересный баланс
разных эффектов возникает, когда р = е.
Повторим предыдущие вычисления, предполагая, что Ль Д2 - функции от ах,
а"х, ахх и т. д., от X - гх, а также от
'*) Секулярное поведение относится к ситуации, в которой итерации "I "2,
• • • алгебраически растут по быстрому времени или быстрой координате.
Если это допускается, асимптотический ряд (2.31) не будет равномерно
пригоден на больших временах и расстояниях.
2) Символ (*) обозначает комплексно сопряженное выражение. - Прим. перев.
в то время как
"о =
64 Глава 2
а, а*. В порядке 0(e) имеем
иш - с\хх + (r)Jui = (ЗйЮг, + 2ikc2ax) + (*), (2.36)
где aTi = Л,. Для подавления секулярного роста ", необходимо, чтобы
<2-37>
т. е. чтобы а двигалось с групповой скоростью волнового пакета о/ =
dti>/dk, вычисленной по (2.30). Тогда "1=0. В порядке е2
"2U - сЧ2хх + (r)л"2 = ~§~ C?e*i{kx-at) +
+ (2/шаГ1 - aTiTt + с2ахх + у ю2а2а*) е^кх~ы) + (*), и условие отсутствия
секулярного роста дает
(2-38)
Для получения (2.38) мы использовали (2.37), выразив aTiTt через ахх.
Кроме того, ? = е(х- a)'t), T2 - e2t и о)" есть дисперсия d2a>/dk2,
вычисленная по (2.30). Уравнение (2.38) есть нелинейное уравнение
Шрёдингера. Заметим, что оно в качестве частного решения содержит не
зависящее от х частотно-моду-лированное решение (2.34), но (и это очень
существенное но) это решение неустойчиво, если произведение коэффициентов
перед дисперсионным (а>"/2) и нелинейным ((1/4) а>2/о>) членами
положительно - ситуация, которая имеет место в нашем примере. Это
неустойчивость, открытая Бенджамином и Фейром [51] *), когда они
экспериментально пытались доказать существование для волн на воде решения
Стокса. Это чрезвычайно существенная неустойчивость, поскольку она
вызывает превращение почти монохроматического цуга волн в серию
импульсов. Я буду вскоре несколько детальнее обсуждать природу этой
неустойчивости.
Пока же, однако, я хочу вернуться к причинам универсальности НУШ и
показать универсальную структуру всех линейных членов в нем. Рассмотрим
уравнение
___________________ L (^-. ¦?) и = N (и2, и3, ...), (2.39)
*) Эта неустойчивость была предсказана теоретически в кандидатской
диссертации В. Е. Захарова 1966 г. Этот результат, в отличие от гамнльто-
нового формализма для волн на воде, не получил широкой известности. -
Прим. перев.
Йывод уравнения Кортевега - де Фриза 65
где La и N(u2,u3, ...) - линейный и нелинейный операторы
с постоянными коэффициентами, содержащие и и ее производные. Пусть
линейная часть (2.39) допускает гармонические решения вида
и = ael , (2.40)
где
L (- ico, ik) = 0 (2.41)
есть линейное дисперсионное соотношение, определяющее со как функцию от
k, или наоборот. Так как (2.41) выполняется для всех k, мы можем
получить, что
- т'Ц + iL2 - 0, (2.42)
- /со"/.! - a>'2Ln + 2co'L12 - L22 = 0, (2.43)
дифференцируя по к один и два раза соответственно. Теперь будем искать
решения (2.39) в виде
и (х, i) = e ("о + e"j + &2и2 + ...) (2.44)
при "о, заданном по (2.32), с медленно меняющейся в зависимости от
координаты и времени амплитудой а. Теперь заметим, что в соответствии с
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed