Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
зрения отвечаем на вопрос:
"Какое отношение к КдФ имеет алгебра Ли si (2)?"
Весь этот материал будет обсуждаться в гл. 5. Наша работа служит
дополнением к недавней работе групп из Киото [39] (М. и Ю. Сато, Т. Мива,
М. Дзимбо, М. Касивара, Е. Дэйт) и Оксфорда [40] (Дж. Уилсон и Дж.
Сегал).
*) Более правильно было бы сказать "точно решаемым уравнением". Как
показано в работах [3*], [4*], [5*], точная решаемость (означающая
бесконечное число законов сохранения) не эквивалентна полной
интегрируемости для бесконечномерных гамильтоновых систем типа
эволюционных уравнений.- Прим. перев.
ГЛАВА ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-
ДЕ ФРИЗА, НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА И ДРУГИХ ВАЖНЫХ В
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2а. Набросок того, что мы собираемся сделать. Цель этой главы - убедить
вас в вездесущности и, следовательно, важности уравнения Кортевега - де
Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Обсуждение этих
уравнений займет большую часть главы, а в последнем разделе я упомяну
вкратце другие канонические системы.
Уравнение КдФ появляется во всех тех ситуациях, когда в главном порядке
возникает гиперболическая система первого порядка плюс малые нелинейные и
дисперсионные члены. Это уравнение описывает, как каждый из инвариантов
Римана (который в отсутствие нелинейности и дисперсии распространялся бы
вдоль соответствующей характеристики без изменений) медленно и независимо
меняется вследствие этих влияний. Мы видели пример этого в первой главе.
Там механическая система описывалась в первом порядке линейным волновым
уравнением, а слабые нелинейность и дисперсия возникали вследствие
ангармоничности упругого потенциала и дискретности решетки
соответственно. Возмущение, первоначально сосредоточенное внутри
пространственного интервала первого порядка длины1), на временных
масштабах первого порядка будет распадаться на идущие влево и вправо
компоненты, как и полагается в линейном волновом уравнении. Однако на
больших временах и расстояниях, обратно пропорциональных нелинейности и
дисперсии, последующая эволюция каждой компоненты будет описываться двумя
независимыми уравнениями КдФ. В следующем разделе мы покажем, как
появляется КдФ в контексте длинных волн на воде в узком и мелком канале.
Я выбрал этот пример по двум причинам. Первая - историческая, вторая
состоит в том, что он дает возможность наглядно представить и интуитивно
понять контекст, в котором ясно проявляется, как разного рода другие
влияния портят интегрируемость КдФ. В частности, мы изучим, что будет
происходить с длинными волнами в канале с медленно увеличивающейся или
уменьшающейся глубиной.
'¦) Имеется в виду метод многих масштабов. - Прим. перев.
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 51
Отклик волн не будет чисто адиабатическим. Мы выведем также уравнение
(или я попрошу вас вывести его в качестве упражнения), моделирующее
ситуацию, когда все гребни волн не совсем параллельны линии берега или
друг другу. Это уравнение называется уравнением Кадомцева - Петвиашвили
(КП), или иногда двумерным уравнением КдФ. Оно также обладает
замечательными свойствами. В упражнениях я попрошу вас вывести уравнения
для цепочки Тоды и подумать, в каком пределе волны в этой решетке
описываются уравнением КдФ. Мы также встретимся с уравнением Буссинеска,
которое, так же как и уравнения КдФ и КП, обладает свойством
интегрируемости, и мы обсудим, в каких ситуациях оно появляется.
Если на вас произвели впечатление разнообразные приложения, в которых
возникает уравнение КдФ или родственные ему уравнения, вас, без сомнения,
удивит вездесущность нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ) и уравнений,
тесно с ним связанных. Это есть уравнение на комплексное скалярное поле
q(x, t),
qt = iqxx ± 2г<72<7*, (2.1)
* означает комплексное сопряжение. Оно описывает эволюцию огибающей
волнового пакета и в отличие от соответствующего линейного уравнения
срдержит в себе солитонное решение, воплощающее концепцию волнового
пакета. Для осуществления такого решения необходимо, чтобы волновой пакет
был сильно диспергирующим, почти монохроматическим и слабонелинейным. В
(2.1) х - это координата в системе отсчета, движущейся с групповой
скоростью линейных волн, соответствующей волновому числу несущей волны, а
само уравнение описывает баланс между линейной дисперсией, стремящейся
размазать пакет, и фокусирующим действием кубичной нелинейности,
возникающей вследствие самовоздействия волн. Мы встретимся также с
модификациями этого уравнения. Нелинейность не всегда имеет простой вид
q2q*, диктуемый типом взаимодействия q2e2iQ-cj*e~iQ (0 = kx - со/), н0
может также включать среднюю (неосциллирующую) компоненту p(x,t) вида pq.
В некоторых случаях среднее поле р алгебраически пропорционально qq*, и
тогда получается (2.1). В других случаях (2.1) дополняется другим
уравнением, связывающим эволюцию среднего поля р с пространственными
производными от qq*. Вместо обширных вычислений, возникающих во многих
