Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 20

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 113 >> Следующая

оо, 0] и в противоположную сторону на [0, +оо), этот импульс представляет
собой суперпозицию кинка и антикинка) и как 4я-импульсы (суперпозиция
двух кинков).
Так же как и уравнение Кортевега -де Фриза, уравнение sin-Гордон
возникает во многих приложениях:
(1) как модель для описания дислокаций в кристаллах (в этой задаче Зегер,
Донт и Кохендорфер [17] нашли 2я-импульс с помощью преобразования
Бэклунда еще в 1953 г.);
(2) в теории поля (мы уже упоминали работу Перринга и Скирма [18]);
История солитона
45
(3) как модель джозефсоновского контакта в теории сверхпроводимости (и
описывает разность фаз волновых функций по разные стороны контакта).
Оно описывает также наглядную механическую модель, предложенную Скоттом,
представляющую собой цепочку маятников, подвешенных к горизонтальной
проволоке так, что каждый маятник может вращаться вокруг этой оси,
закручивая ее. При этом и(Х,Т) представляет собой угол поворота,
измеряемый от вертикали. После замены х = (Х-\- Т)/2, t = (X-Т) /2
уравнение (1.44) принимает вид
итт - ихх + s'n и = 0. (1.48)
Кинк представляет собой закрутку проволоки на угол 2л против часовой
стрелки. Антикинк имеет противоположную ориентацию.
Не хотелось бы оставить обсуждение уравнения sin-Гордон, не упомянув о
важном вкладе, внесенном в этот вопрос Джорджем Лэмом. В серии из
нескольких статей, подытоженных в 1971 г. в статье [20], он подверг
тщательному анализу физические приложения многосолитонных и автомодельных
решений уравнения sin-Гордон. Он предвидел, что уравнение sin-Гордон
является близким родственником уравнения Кортевега - де Фриза. И он
независимо открыл "обратный" метод его решения. Нужно отдать должное
этому скромному человеку (редкая порода!), который даже удержался от
соблазна перечислить свои достижения в своей собственной книге и внес в
список литературы лишь одну из своих работ.
lh. Солитонный бум и результаты 1970-х. При всем том объеме знаний,
который был накоплен к 1967 г., кажется довольно удивительным, что
потребовалось пять лет, чтобы добавить к КдФ новое интегрируемое
уравнение. Многие воспринимали результаты по интегрируемости КдФ как
трюк, изощренное преобразование типа преобразования Хопфа - Коула (см.
также Форсайт, т. 6, с. 100, где линеаризация уравнения Бюр-герса дана в
качестве упражнения). Однако в 1971 г. Захаров и Шабат [21] нашли пару
Лакса для нелинейного уравнения Шрёдингера, еще одного универсального
уравнения, о котором говорится в основном в гл. 2. Результат Захарова -
Шабата, Потсдамская конференция 1972 г. и лекции Крускала о уравнении
sin-Гордон вызвали мощную волну интереса к этим проблемам. Вадати [22]
нашел постановку, в рамках которой можно проинтегрировать
модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза (мКдФ). Абловиц, Кауп,
Ньюэлл и Сегур (АКНС)
46 Глава 1
[23], руководствуясь несколькими ключевыми наблюдениями Крускала, решили
уравнение sin-Гордон (независимо решенное Лэмом и, несколько позднее,
Фаддеевым и Тахтаджяном) и вслед за этим показали, как выписывать полный
набор уравнений (АКНС-иерархия), решаемых с помощью задачи Захарова -
Шабата на собственные значения
К этому времени стало ясным, как обращаться с любой задачей на
собственные значения и выписывать эволюционные уравнения, оставляющие
неизменным ее спектр. По всему миру начался солитонный бум.
Появились результаты по более трудным задачам. Было показано (Флашка,
Хенон), что цепочка Тоды (см. [24])
является интегрируемой моделью. Она оказала такое же плодотворное
воздействие в области нелинейных дифференциальноразностных уравнений, как
и КдФ в области уравнений с частными производными.
Периодическая задача для КдФ была решена в несколько этапов несколькими
авторами в течение и после 1976 г. Первым открытием было так называемое
конечнозонное решение, для которого спектр периодической и
антипериодической задач для оператора (1.29) с периодическим потенциалом
q(x) (уравнение Хилла) состоит из (2п+1) простых собственных значений
Я0Д1, ..., Ягл, а все остальные сдвоены (Макин и Ван Мёрбеке [25],
Новиков [26], Итс и Матвеев [27], Кричевер [28]). Бесконечнозонный предел
был рассмотрен Макином и Трубовицем [29]. Многие результаты оказались
переоткрытием более ранних работ Бейкера, Драха, Бёрчнелла и Чонди [30].
Пары Лакса были также найдены для неодномерных уравнений. В частности, мы
будем обсуждать некоторые результаты, касающиеся уравнения Кадомцева -
Петвиашвили (КП)
(слабодвумерное уравнение Кортевега - де Фриза). Задача с начальными
данными для этого уравнения очень сложна и была решена лишь недавно
(Манаков [31], Абловиц, Фокаш и Сегур [32]). Был также найден инстантон -
солитон автодуальных уравнений Рига - Миллса, а также конструкция ^-
параметрического инстантонного решения (Атья, Хитчин, Дрин-
vix + ilvi = q{x, t)v2, Щх - ilv2 = r{x, t)vx.
(1.49)
(1.50)
± qyу + (qt + 6qqx + qxxx)x = 0
(1.51)
История солитона 47
фельд, Манин [33]). Была также показана интегрируемость нескольких других
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed