Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 16

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 113 >> Следующая

стадии 6 (как и для следующих) переопределены, и поэтому они были не
очень удивлены, когда не нашли закона сохранения этого веса. Однако они
сделали алгебраическую ошибку, и прошло более года, прежде чем они вновь
двинулись по этому пути.
Следующий шаг вперед был сделан с привлечением Роберта Миуры, которого
Крускал попросил попытаться отыскать закон сохранения веса 7. Он нашел
его и быстро получил пропущенный вес 6. Вскоре были найдены восьмой и
девятый, и Крускал и Миура стали вполне уверены, что их бесконечное
число. Однако из Института Куранта пришел слух, что девять - это предел.
(Что исследователи на самом деле открыли - это нечто, что они сочли
изменением в алгебраической структуре.) Миура после этого почувствовал
себя обязанным найти десятый. Он сделал это в течение двух недель каникул
в Канаде летом 1966 г. (Есть также молва, что его видели примерно в это
же время на горе Синай, несущего все десять.) Теперь было ясно, что есть
законы сохранения любого веса. (Каждый закон сохранения имеет вид
(dU/dt)-{-(dF/dx) = 0-, U называется сохраняющейся плотностью, a F -
соответствующим потоком. Им может быть приписан вес, получающийся
сложением степени q с половиной числа операций Ь(д/дх) в каждом члене в
этих величинах. Например, вес q - единица, веса 3q2 и б2qXx оба равны
двум, 2<73, b2qqxx и 62<72 все имеют вес три и так далее. Вес закона
сохранения определяется по весу сохраняющейся плотности.) Как их найти и
к какого рода ограничениям на решения уравнения КдФ они могут привести -
эти вопросы волновали исследователей. Первоначальная мотивировка поиска
законов сохранения временно стала неактуальной. Внезапно появилось
слишком много независимых законов сохранения, и
История солитона
35
все условия на скачке (соотношения Рэнкина - Гюгонио), выводящиеся из
этих законов, должны были быть совместными. Как часто бывает с новыми
открытиями, этот вопрос уже не казался таким важным, как раньше.
К слову сказать, до сих пор так и не ясно, почему теплопроводность
твердых тел конечна!
"Ключ" нашел Миура [11]. Он обнаружил, что модифицированное уравнение
Кортевега - де Фриза (мКдФ)
Vt + 6u2n* + vxxx = 0 (1.10)
тоже имеет бесконечное число законов сохранения, и ему удалось установить
соответствие между ними и соответствующими законами сохранения КдФ с
помощью преобразования, носящего теперь его имя:
q = v2 - ivx. (1.11)
Начиная с этого места, мы будем писать х, t вместо |, т и примем б2 = 1.
В действительности Миура показал, что
4t + *ЯЯх + Яххх = (20 - i -gj-) (vt + 6о21>* + Vxxx), (1.12)
и поэтому если v{x,i)-решение (1.10), то q(x,i)-решение
(1.6). Далее, так как (1.11) представляет собой уравнение Рик-кати,
преобразование Миуры может быть линеаризовано:
0(Х, t) - - /фдг/ф, (1.13)
в результате чего воз :т уравнение Шрёдингера с нулевой энергией
Я = - Ч>ххЬ- (1.14)
В силу галилеевской инвариантности уравнения (1.6) ничего не изменится,
если к q добавить постоянную скорость Я, после чего (1.14) принимает вид
Ч>хх + (Ъ + q(x, i)) Ф = 0, (1.15)
т. е. становится стационарным уравнением Шрёдингера с по-
тенциалом V(x) = -q(x, t) и энергией ? = Л. (Замечание: временная
переменная в нестационарном уравнении Шрёдингера не имеет ничего общего с
временем t в уравнении КдФ.) Теперь уже в наличии имеются все
составляющие, из которых должно появиться обратное преобразование
рассеяния1). На этой стадии Гарднер и Грин объединили свои усилия.
') В литературе на русском языке принят термин "метод обратной задачи
рассеяния" (МОЗР).
2*
36 Глава 1
Перед описанием дальнейших событий имеет смысл описать гарднеровскую
модификацию преобразования Миуры, автоматически включающую Л и приведшую
к идее, что бесконечное число сохраняющихся величин какого-либо уравнения
может быть выведено из одной сохраняющейся величины для другого
уравнения, если только их решения связаны преобразованием специального
вида (вариантом преобразования Бэклунда). Гарднер положил
q = w -f iexOx + (1-16)
и получил эквивалент (1.12) в виде
Яг + 6qqx + qххх = (1 + 2е2ау + /е (а>4+6 (а>'+ е2да2) wx + wxxx).
(1.17)
После линеаризации (1.16) подстановкой
" + ?-77 <1л8)
(1.16) принимает вид
Ф** + (V + -4^5 ) ф = 0. (1.19)
Теперь выразим w через q и его производные в виде асимптотического ряда
по е при малых е (мы увидим позднее, что асимптотическое разложение ср
для больших Л очень существенно в теории) и найдем, что
w = q - ieqx - e2(qxx + q2)+ . .. . (1.20)
Так как ^ wdx постоянно во времени, если интеграл берется
по бесконечной прямой и q стремится к нулю вместе со всеми своими
производными при дс-"-±°о, или по интервалу при периодических граничных
условиях, то не зависят от времени
^ qdx, ^ q2dx, ^ (ф5 - (1/2) </2) dx и т. д. Таким образом, из первого
закона сохранения для уравнения Wt + 6(w + e2w2)wx + + Wxxx = 0
получается бесконечное число законов сохранения для уравнения КдФ.
1е. Обратное преобразование рассеяния [12]. Получив уравнение (1.15),
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed