Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
экспоненциально малы. Если N = I, то конечнозонное решение становится
периодической эллиптической функцией
Я&, т) = р +(а - §)сп2- 2(а + § + у)т); я*2}.
где т2 = (а - Р)/(а - у), а > р > у, и мы приняли 62 = 1. В пределе
бесконечного периода, m2-*-1, получаем (1.7) с а = = 2т12, если мы
накладываем условие q-*-Q при х->-±°о. Во-вторых, в то время как по g
решение периодично (поскольку периодичен начальный профиль), по т оно
только квазипериодично, так как частоты <в/, вообще говоря, несоизмеримы.
Таким образом, время "возвращения" определяется рациональной
аппроксимацией частот, соответствующих энергонесущим модам (зонам).
Точность возвращения поэтому является функцией числа таких мод и
выбранной точности аппроксимации их частот *).
В любом случае странные свойства взаимодействия солитонов вместе со
свойством "почти возвращаемости" к начальному состоянию все более и более
указывали на полную (в некотором смысле) интегрируемость КдФ, что должно
было бы быть связано с большим количеством сохраняющихся величин. Однако
исследователи были далеки от мысли о связи с теорией гамильтоновых
систем, и мотивировка поисков законов сохранения пришла с другой стороны.
Перед тем как описать это, я должен отметить важную и плодотворную роль
численного экспериментирования в этих открытиях, как это часто
подчеркивает Забуски. (Я очень рекомендую его статью [10].) Это был
первый случай в истории науки, когда исследователи получили доступ к
новой могучей силе - вычислительной технике.
¦) Более точно было бы сказать, что время возвращения в случае общего
положения определяется допускаемым отклонением конечного состояния от
начального, а это допустимое отклонение в свою очередь определяет
точность рационального приближения частот. - Прим. перев.
История солитона 33
В самом деле, в течение немногих последних лет мы видели непрекращающиеся
свидетельства того, как этот новый стиль исследования - комбинация
анализа и численного эксперимента - становится все более важным в научном
открытии. Странный аттрактор, новое и фундаментальное понятие теории
динамических систем, играющее центральную роль в нынешних попытках
понимания некоторых видов турбулентности, тоже был открыт на этом пути.
Теперь предостережение. Тот факт, что у уравнения есть решения типа
уединенной волны, сохраняющие свою форму в процессе нелинейного
взаимодействия, часто рассматривается и как лакмусовая бумажка на наличие
солитонов, и как определение солитона. Я хочу предостеречь читателя, что
это условие только необходимо. Есть уравнения (например, в (1.54)
замените D\ на Dx)> допускающие двухфазные решения типа уединенных волн
(и поэтому асимптотическая форма каждого такого индивидуального решения
сохраняется после столкновения), но тем не менее они не обладают всеми
необходимыми свойствами, чтобы их можно было отнести к солитонному
классу. Надлежащее определение солитона включает его связь с определенным
типом данных рассеяния задачи на собственные значения. Это мы обсудим в
разд. 1е. Тем не менее численное моделирование столкновения двух
уединенных волн для проверки их поведения в процессе их взаимодействия
является очень полезным. Более хорошим тестом служит в добавление к
проверке столкновения двух уединенных волн проверка упругости
взаимодействия уединенной волны с другими частными, но локальными
решениями уравнения. В случае КдФ, например, можно сталкивать уединенную
волну с волной понижения.
Id. Законы сохранения и преобразование Миуры. Следующий шаг в серии
открытий был сделан в результате попытки описать решение (1.6) при малом
б2 усреднением по осцилляциям тонкой структуры решения. Эта процедура,
естественно, пригодна не для всех времен и должна быть изменена, когда
тонкая структура развивается в четкую солитонную цепочку, как на рис.
1(C). Тем не менее она может позволить исследовать замечательные свойства
(типа обратимой ударной волны) той части решения, где q6 велико.
Следовательно, по аналогии с газовой динамикой важно найти законы
сохранения, для того чтобы можно было записать условия на скачках в
областях резких изменений решения. Нужно знать четыре таких величины
(число характеристических скоростей до и после скачка плюс положение
самого скачка) вместо трех для обычной
2 А. Ньюэлл
34 Глава 1
газовой динамики. Два закона сохранения Qt + (3<72 + &2<]хх)х - 0.
(1.8)
(1.9)
соответствующие сохранению массы и импульса (1.8) и энергии (1.9) для
волн на воде и сохранению импульса и энергии для нелинейной пружины, были
уже известны. Уизем, развивший к этому времени плодотворную теорию для
изучения модулированных периодических волн, нашел третий, соответствующий
знаменитому моменту неустойчивости Буссинеска. Забуски и Крускал искали и
нашли четвертый, и их метод поиска (нахождение уравнений для
коэффициентов всех членов веса 4, 5, 6 и т. д. при условии, что вес q
есть 1, а вес д/дх равен 1/2) указал, что уравнения для коэффициентов на
