Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
получающееся из периодического решения (кноидальной волны) предельным
переходом к бесконечному периоду.
30
Глава 1
Из вышесказанного становится ясно, почему было необходимо ввести второе
приближение для центрированной конечной разности yi+1 - 2yi-\-yi-l. Если
62 = 0, то уравнение (1.6) имеет решения, становящиеся за конечное время
разрывными. Например, беря начальное условие в виде q(l, 0) = (1/6)яа cos
2ng, соответствующем начальным условиям у(х, 0) = a sin 2пх, yt(x,0) = Q
(напомним, так как yt(x, 0) = 0, распространяться вправо будет только
половина начального профиля). Максимальный отрицательный наклон qЕ
увеличивается монотонно от -я2а/3 при t= 0 до -оо при t = 1/(я2аес).
Таким образом,
Рис. 1. Развитие во времени формы волны q{x) (по [6]).
наивная непрерывная аппроксимация системы (1.2) становится непригодной.
При конечных, но малых б2 возникает другая картина. Рис. 1, взятый из
знаменитой работы Забуски и Крускала 1965 г. [6], в которой анонсируется
солитон, показывает результат их численных расчетов, в которых для
решения уравнения КдФ (1.6) была использована схема с центрированной
разностью, сохранявшая массу и (приблизительно) энергию. Они взяли
периодические граничные условия, и начальный профиль был синусоидальным.
Сначала участки с отрицательными уклонами становились более крутыми,
после чего член с третьей производной приводил к образованию вблизи
максимумов и слева от них тонкой структуры в виде колебаний с длиной
волны б (см. рис. 1, профиль В). Со временем колебания разделялись,
образуя цепочку распространяющихся вправо импульсов. При этом самый
большой импульс оказывался самым правым, и каждый из них, казалось,
сохранял свою индивидуальность и
История солитона 31
имел скорость, пропорциональную его амплитуде. Каждый из этих импульсов
приближенно может быть описан солитонным решением (1.7), хотя, строго
говоря, это решение описывает изолированный импульс на бесконечной
прямой. Вследствие периодических граничных условий солитонные импульсы
последовательно возобновлялись на левой границе, и вследствие большей
скорости большие импульсы набегали на меньшие. И тут исследователи
обнаружили удивительное явление. В то время как в ходе взаимодействия два
импульса вели себя самым нелинейным образом, после него они
восстанавливались в таком порядке, что больший оказывался впереди, при
этом каждый из них в точности сохранял свою индивидуальность (высота,
ширина и скорость). Единственным свидетельством столкновения был фазовый
сдвиг: больший импульс оказывался сдвинутым вперед по отношению к
положению, которое бы он занимал, если бы распространялся без
столкновения, а меньший - назад. Если два импульса были почти
одинаковыми, при взаимодействии импульсы, казалось, обменивались своими
характеристиками, так что передний и меньший импульс становился выше и
уже, как только к нему подходил передний фронт большего импульса, который
в свою очередь приобретал характеристики меньшего. Если импульсы были
существенно разной амплитуды, больший адиабатически проходил сквозь
меньший. Для промежуточного соотношения амплитуд взаимодействие было
более сложным. Впоследствии, анализируя взаимодействие, Лаке [14] (1968)
строго обосновал эти наблюдения.
Такое поведение импульсов было, в самом деле, очень необычным. Они
заслуживали специального названия, и они его получили. Их назвали
солитонами, чтобы подчеркнуть их частицеподобные свойства. После
многократного повторения процесса прохождения сквозь решетку из остальных
солитонов их прежнее относительное положение восстанавливалось, и они
образовывали тонкую структуру с постоянно уменьшающимся отрицательным
наклоном, пока почти полностью не восстанавливался начальный
синусоидальный профиль. Этот процесс представляет собой зеркальное
отражение (как во времени, так и в пространстве) первоначального распада
исходного профиля. Время, через которое импульсы сливаются в начальный
профиль, называется временем возвращения. Причина этого "почти
возвращения" за такое короткое время состоит в том, что начальный профиль
распадается на относительно небольшое число солитонов. Время возвращения
можно оценить как минимальное время, за которое импульсы, двигающиеся по
окружности длины L с различными постоянными скоростями, снова попадут в
общую точку.
32
Глава 1
Эта картина является только аппроксимацией точного решения по двум
причинам. Во-первых, как было показано в более поздних работах 1976 г.,
если начальный профиль аналити-чен по |, решение (1.6) при периодических
граничных условиях может быть приближенно так называемым "конечнозонным",
являющимся второй логарифмической производной от (c)-функции Римана,
зависящей от векторного аргумента &/? + <а/т, /= = 1, ..., N, где N -
число степеней свободы. Это эквивалентно высказыванию, что для гладкого
начального профиля большая часть энергии распределяется по относительно
небольшому числу солитонных состояний. Для больших N ширины зон
