Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Результат был удивительным - по крайней мере он казался таковым всем, кто
участвовал в этой работе или слышал о ней. Энергия не термализовалась!
Вместо этого содержавшаяся вначале в наинизшей моде энергия затем
распределялась по нескольким низшим модам, после чего постепенно вновь
собиралась в наинизшей моде с точностью до двух процентов, и затем
процесс приблизительно повторялся. ФПУ знали, что это явление не могло
объясняться возвращением по Пуанкаре, время которого для системы из 64
точек огромно. Процесс более по-
28 Глава 1
ходил на поведение системы линейно связанных осцилляторов, двигающихся в
фазовом пространстве по тору квазипериодиче-ским образом. (Если есть две
собственные частоты (щ и <о2, и coi/a>2 ~ т/п, где т, п - взаимно простые
целые числа, то возвращение произойдет приблизительно через время
2ял/сй2.) Но как это может быть? Почему нелинейность не возбуждает все
фурье-гармоники? Может быть, ответ в том, что система, будучи записана в
подходящих координатах, эквивалентна системе независимых гармонических
осцилляторов?
Эксперимент ФПУ не привел к ожидаемому результату, но, так же как в
предыдущем столетии эксперимент Майкель-сона - Морли, бросил вызов
основным представлениям физиков того времени. Тем не менее, так как это
не было связано с вопросами, находившимися в то время на переднем крае
физики (в этом отношении все времена похожи), этот результат легко мог
быть отнесен, как это и произошло со многими, к разряду любопытных
диковинок и забыт. Например, в 1962 г. Перринг и Скирм нашли
двухсолитонное (соответствующее двухчастичному упругому столкновению)
решение уравнения sin-Гордон, которое они использовали в нелинейной
мезонной теории поля. Это точное решение, проявляющее нелинейный принцип
суперпозиции, можно было связать с работами Бэклунда и Бьянки, которые в
конце девятнадцатого столетия развили в рамках теории поверхностей
постоянной отрицательной кривизны общую схему построения многосолитонных
решений уравнения sin-Гордон. Было ясно, что это уравнение обладает
весьма специальными свойствами, однако Перринг и Скирм не пошли по этому
пути.
К счастью, странный результат ФПУ был забыт не всеми. Счастливая
возможность была использована двумя специалистами по прикладной
математике из Принстонского университета- Мартином Крускалом и Норманом
Забуски (КЗ). Они решили понять необычное явление и в процессе работы
открыли солитон и прекрасный новый мир нелинейных явлений, притягивающий
сейчас воображение ученых всех физических дисциплин, мир, который
обогатил арсенал математической физики и дал новую жизнь многим
классическим математическим структурам.
1с. Крускал, Забуски и открытие солитона. Крускрал и Забуски (КЗ) [6] -
[10] рассмотрели проблему ФПУ в непрерывном пределе. Они полагали, что
так как энергия содержится в наинизших модах системы и смещения соседних
масс отличаются на 0(h/L), то можно ввести непрерывные смещения y(x, t),
где y(ih, t)~ t/i. Разлагая смещения г/1+1 и г/,_i в ряды
История солитона 29
Тейлора, полагая kh2/m - c2, 2аЛ = е, Л2/12е = б2, из (1.2) получаем
Уи - °2Ухх = гс2ухухх + ес262ухххх, (1.3)
где члены порядка е2 отброшены и е - малый параметр. Как
мы увидим, сохранение второго члена в правой части (члена
с четвертой производной) является решающим обстоятельством при
приближении конечной разности второго порядка. Так как ФПУ решали свое
уравнение с центрированной временной разностью, то в (1.3) следовало бы
включить также член ytttt, но с хорошей точностью ytttt = с4ухххх, и это
приведет только к переопределению величины б2. Так как численная схема
должна удовлетворять условию Куранта - Фридрихса - Леви, то знак б2 при
этом не изменится.
Как анализировать (1.3)? Ясно, что для времен и расстояний порядка
единицы решение ведет себя так, как если бы оно удовлетворяло линейному
уравнению. Начальный профиль распадается на компоненты, идущие вправо и
влево, каждая из которых распространялась бы без возмущений, если бы не
совместное действие нелинейных и дисперсионных членов в правой части
(1.3). Как эволюционирует каждая из этих компонент под действием этих
новых влияний? Чтобы изучить этот вопрос, КЗ стали искать решение (1.3) в
виде
У(х, - T) + et/1Hx, /)+ ..., (1.4)
где l = x - ct, T - Et, и зависимость f от Т описывает эволюцию профиля
/(?, Т) на больших расстояниях и временах порядка 1/е. Уравнение для у<4
имеет вид
У и ~ °2Ухх = 2chr + c%hi + (1 -5)
Решение yW будет линейно расти по переменной ?- - х + ct, и
асимптотический ряд (1.4) станет неоднородным на больших временах, если
только зависимость / от Т не выбрана так, чтобы обратить правую часть
(1.5) в нуль. Полагая 6q = f^, т - сТ/2, получаем
<7т + 6<7<7| + 62<7К| = 0, (1.6)
т. е. уравнение Кортевега - де Фриза. Уединенной волне, наблюденной
Расселлом, соответствует зависящее от параметра т) решение в виде
квадрата гиперболического секанса (б2 = 1)
<7 = 2т)2 sech2 т) (1 - пт), (1.7)
