Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Во-первых, как уже упоминалось, они отражают масштабные симметрии,
присущие иерархии АКНС, некоторые детали которых обсуждались в разд.
5f(iii). Легко проверить, что если бы мы написали правую часть (5.275Ь) в
виде 3^Q(3> вместо Q(3), то третий член в (5.276а, Ь) превратился бы в -
3t3qt и - 3t3rt3 соответственно, и из уравнений следовало бы, что q и г
суть функции от X = (x/(3/3)(1/s) и Т = хе*. Если мы потребуем, чтобы q п
г были независимы от t, мы снова придем к автомодельным решениям того же
типа, что и обсуждавшиеся в разд. 5f(iii). Вторая интересная черта - это
природа законов сохранения. Без членов (xq)x и (хг)х они задаются
выражениями
например, а " д __ а р a i
Связующие звенья между чудесами солитониой математики
307
Но что такое -r(xq)x- q{xr)x? Это просто производная от (-xqr + д In
х/дх) по х, и, таким образом,
Опять появляется градиент от In т. Давайте исследовать дальше. Рассмотрим
F12 = -2ih3 = i/2(rqx - rxq).
Цг = \ (r (xq)xx + qx (xr)x - q (xrxx) - rx (xq)x) =
= \ {x (rqx - rxq)x + 3 (rqx - rxq)) =
Но если мы собираемся вводить время t2 и считать его независимой
переменной, мы должны быть уверены, что поток i2 коммутирует с потоком t.
Чтобы обеспечить это, нам нужно прибавить член 2f2Q(2) к правой части
(5.274), который не портит совместность (5.275а, Ь); он просто
эквивалентен выбору h2 + ef = = -1 + CiE;-1 + ... при подходящем выборе
Си Рассмотрим
Перекрестно дифференцируем (5.277а, с) и находим после несложных
вычислений
1н~ = Ж {"Г+ qr*x ~ r*qx * 3^2r2) - xqr + 1п т} •
или
VX = QW,
Vh = QWV,
Vt + tVi = (Q(3) + 2t2Q{2) + xQW) V.
(5.277a)
(5.277b)
(5.277c)
Qk (*Qi)x - 2/2Qi<j + [Qi, Q3] - 0,
(5.278)
где мы использовали совместность
Q)'> - Q<2) + [Q{1\ Q(2)] = 0
(5.279)
(5.277a, b). Из (5.277b, с) мы имеем
Q<2> - iH? + Q,g - Q?> - 2t2Qf) - 2QW - xQ[" +
+ [Q<2). Q<3) + *Q(1)] = 0. Напомним, что Q<>> = Q<2> - [Q<>>, Q<2>] и
Q<3) + [Q'3), Q<2>] = QfK
Тогда имеем
Q<2) _ Qi? _ 2t2Qf) - xQW - 0g) = 0.
308 Глава 5
Вычисляя коэффициенты при степенях ?, получаем
?: Qlt - (^QlL - ^hQlt, Qlf" = 0,
C°: Qn - xQ2x - 2 {t2Q2)ti - Qnt - 0-
Читателю следует проверить, что последние уравнения действительно
совместны.
Подводя итоги, мы отмечаем:
(i) Включение новых базисных элементов %d/d'ts и Z в фазовое
пространство приводит к новому классу потоков, и эти потоки неавтономны.
(и) Может оказаться, что в дополнение к переменным фазового пространства
(Лг, er, fr) следует также ввести в качестве зависимых переменных tj и
<91пт/dt/, j - 1, 2, ..., последнюю в качестве коэффициента при центре.
(iii) Новые потоки имеют также бесконечный набор локальных законов
сохранения и симметрий, если считать <?1пт/сыновыми локальными
переменными. Например, так как
X = t 1
d\n%ldt,= -2i ^ hj+i dx, мы можем считать новую переменную нижним
пределом интегрирования. Похоже, что эти симметрии совпадают с
симметриями, предложенными Ченем, Ли и Лином [122], хотя я не проверял
этого. Я отмечаю, что алгебра, которой удовлетворяют эти симметрии <т",
определяется соотношениями [ат, в"]=(т - п)от+п-\. Обратите внимание, что
это в точности алгебра Вирасоро, которой удовлетворяет последовательность
<т" = -t,nd/dt-
(iv) Моя гипотеза: элемент
играет важную роль во всей теории.
Итак, я оставляю вам множество открытых вопросов. Я надеюсь, что намеки и
предложения этого раздела раздразнят вас, как и меня, и, более того, вы
сделаете что-нибудь на эту тему. Желаю удачи1).
¦) Примечание переводчиков. Наверно, как раз, когда писались эти строки,
мы (А. О. и Е. Ш.) сделали первую работу [5*, 6*] из серии работ,
посвященных некоммутативным симметриям интегрируемых систем. Далее в [7*]
для неодномерных (2+1JD уравнений были найдены симметрии, описываемые
операторами \п{й/<Щт и соответствующие им L-А пары. В [8*], в частности,
было анонсировано, как эти симметрии описываются в терминах сГзадачи и с
помощью вершинного оператора. Подробности, свойства (га-мильтоновость,
законы сохранения) и изложение с других точек зрения (свободные фермионы,
грассманианы и проч.), а также краткое изложение суперслучая см. в [9*]-
Все ссылки относятся к списку дополнительной литературы к гл. 3.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
309
Замечание. Я не хочу, чтобы после прочтения разд. 5Ь у читателя осталось
впечатление, будто метод Уолквиста-Эстабрука дает несложный способ
находить лаксово представление для интегрируемых систем. Многое зависит
от способности установить зависимость Р в (5.3) от координат q, qx, qxx,
... на фазовом пространстве. В самом деле, я знаю несколько примеров
конечномерных интегрируемых систем, для которых известны все интегралы
движения, но для которых не найдена лаксова пара. Например, я предлагаю
читателю рассмотреть стационарное уравнение для потока t5 семейства КдФ
qxxxx + 5q2x + + \Qqqxx-\- Ю<73 = 0, про которое нам известно, что оно
гамильтоново с каноническими координатами
Pl~4x> Я\ = "J- (Яхх "Ь 3<72), Р2 = -2Яххх + ЯЯху Я2 = Я> с
