Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
изведение выбираем в виде (X, У) = Тг (ХУ)0. Заметьте, что
здесь Q есть ?, умноженное на разложение в ряд по ? выражения
Q = K(- iH)V~l около ? = 0. Далее, мы знаем, что для
и для k < О
Qtk = -[nNV<$k (Q), Q], (5.261a)
Qtk = - Kv(r)* (Q), Q] (5.261b)
Q*4 = -[*kV(r)*_i(§), Q], (5.262a)
Qtk = ~ [%v(r)*_i (Q), Q]. (5.262b)
v<pA(6)=-i-<S*X, X), (5.263a)
Вспомним, что
где SkX = tkZxrlr и
УФ* (X) = -SkX. (5.263b)
Как и прежде, Ф*(Х) ad-инвариантна на G, алгебре петель алгебры si.(2,
С).
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 301
ОО
2. Проверьте, что если мы умножим Q-YiQ-X на '
1
при k < 0 и удержим лишь члены, для которых г + k - 1 ^ <-1, мы получим
Q(ft, = ?*(Q_1+ ... +Q_kzrk~l). Определим на G* a* G гамильтониан
!>*(*) = (5.264а)
Х,№ = Ф|.,М), (5.264b)
где X = Q-f-Q, Q е К±, QeAT-1. Тогда (5.262) можно записать
как
X*k = - [V^ft W" *1" k>° (5.265а)
и (5.262) может быть переписано так:
Хн = - [ЧЪ (X), X], I < 0. (5.265Ь)
Чтобы доказать (5.265а), мы хотим показать, что
^к(Х) = пмФк(як±Х). (5.266)
Доказательство. По определению
<W, да. х.')=-§т'h (* + /Г) |"0 = 4-ф. Кх.X + ЫкХХ-) |(_0 =
==(^Ф*(ЯДЛ--^)* ПК±Х') = (nN^k (ПК±Х)> nK-i-X_)==
(так как внутреннее произведение элемента К с элементом К-1 есть нуль)
= Х')> так как пк±Х' = Х' - nNj_K' и внутреннее произведение элемента N и
элемента N1 есть нуль. Отсюда следует (5.266).
При помощи аналогичных вычислений можно доказать, что потоки, порождаемые
гамильтонианами tyk(X), и
/ < 0, находятся в инволюции относительно скобки Пуассона
{!>*, Xi} (X) = - <*, [V** (X), VXi (JO] >•
3. (i) Докажите, что {ф*, xt}(JQ = 0 (см. [38, VI]).
(ii) Покажите, используя (5.236), что
дг In т
2 dtidt-1 '
Заметьте, что e_, = (i/2)eltt_l, = - Покажите,
что, вообще говоря,
, t д* in т
-5 ~ 2 dt,
302 Глава 5
И
t f t ?
e-s~~2e\,t_s> l-s~ J /1, t-s-
(iii) Каковы уравнения Хироты для отрицательных временных потоков?
9
51. Расширение si (2, С) до Позвольте сначала напомнить основные идеи
этой главы. Мы берем алгебру петель G =
= = Xj е si (2, С)| алгебры si (2, С), на которой
мы определяем форму Киллинга (X, F)0= ? Tr X,Yk. G раз-
/+*-о
лагается на две подалгебры, G = К + N, и с помощью введенной на G формы
Киллинга двойственное к N пространство N* отождествляется с ортогональным
дополнением Кх к К. Кх имеет естественную пуассонову структуру, и можно
выписать гамильтоновы векторные поля, порожденные функцией Ф на Кх.
Существует специальный класс функций, ad-инвариантные функ-
ции Фй, которые являются коэффициентами при ?-* в разложении - (1/2)ТгХ2,
играющие особую роль. Из-за свойства ad-инвариантности гамильтоновы
векторные поля
Q^ = -^±[%V(r)a(Q), QJ. QeK-L (5.267) приобретают форму Лакса
QtA = -[%VOA(Q), QI QeK-L. (5.268)
В разделах 5i,j мы сочли удобным расширить фазовое пространство Кх до е +
/Сх, где е е К* - Nx - это выделенный элемент в алгебре, двойственной к
алгебре группы симметрии К. Пространство в + Кх также имеет скобку
Пуассона при любом eeG, и для тех е, которые принадлежат ортогональным
дополнениям коммутаторов [/С, /С] и [N, N] (последнее очевидно вследствие
того, что е ф. Кх и поэтому s e Nx), мы имеем набор коммутирующих потоков
(е + Q)tk = - [%УФА_1 (е + Q), е + Q]. (5.269)
Любой элемент вида (аН + ЬЕ + cF)t, можно взять в качестве е; в случае
однородной градуировки мы выбираем в = -г#?. Теперь читателю следует
проверить, что (5.269) в точности то же самое, что (5.268), если мы
выбираем Ло = -i, eo = fQ = 0
оо
в (5.268) и считаем, что Q в (5.269)-это X QrCr-1j Qr = hrH +
i
+ erE+frF. Для другой градуировки, которую мы использовали
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
303
в третьем примере в разд. 5с, мы берем элемент е = -Ft, -f- Е (который
имеет вес 1).
Почему вообще необходимо включать какие-то новые элементы в алгебру? К
несчастью, в настоящее время я этого не знаю. Очевидно, однако, что
теория в чем-то не завершена. Не найдено естественного способа введения
т-функции в рамках теории Ли. Более того, некоторые формулы, например
(5.63) для тензора тока, по-видимому, требуют введения оператора
t,d/dДалее, так как полная интегрируемость уравнений Лакса означает, что
мы с помощью канонических преобразований можем свести сильно
взаимодействующую систему (5.268) к невзаимодействующим гармоническим
осцилляторам, то следует ожидать появления алгебры Гейзенберга. Но не
существует подалгебры si(2, С), которая является алгеброй Гейзенберга.
Требуется дополнительный элемент - центр Z.
Рассмотрим поэтому расширенную алгебру
G = G + cZ + dD, D = Z-j?. (5.270)
Нам нужно задать правила коммутирования и взятия внутреннего
произведения, связанные с включением новых элементов. Они таковы (X,
Уеб):
[Z, все что угодно] = 0, (5.271а)
-N
[D,X] = ^ = YJ~iXlCi, (5.271b)
оо
[X, У] = [X, У]~ + ([D, X], У)0 Z. (5.271с)
В (5.271с) [X, У]~ обозначает коммутатор по старым правилам si(2, С);
например, [Н, Е] ~=2Е. Новый член - это <DX, Y)0Z. Новое нетривиальное
