Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(,е~шк~1(0) ег8Н)
и обратим его левый множитель
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
291
Тогда собственная матрица
V^{{e-№Hk~\Q)eitiH)_Yl е~1Ш
соответствует решению Q(t,) с одним связанным состоянием. Это в точности
алгоритм одевания Захарова - Шабата [108].
Что получится, если мы применим этот алгоритм снова? Я попрошу вас
показать в упражнении в конце этого раздела, что
{(VW'^VT1)-}"1 Vri = {(e"<eff*2~I(0)*rI (0)e''e")-rVie",
а это указывает, что данное действие обладает групповым свойством [40],
[106].
Резюме. В заключение этого раздела я хочу сделать несколько важных
наблюдений. Во-первых, я напоминаю читателю, что характерный элемент
Q(t,) фазового пространства задан с помощью (5.223):
где k{tj) вычисляется как (ехр(- /0Я) А:-1 (0))_\ Элемент k~l (0)
определяет тип решения, т. е. будет ли это решение односоли-тонным,
двухсолитонным, связанным состоянием (1,0) и т. п. Можно считать k~l (0)
аналогом данных рассеяния в нулевой момент времени. Коль скоро тип
решения определен, поток всей последовательности времен {f*}" отображает
его на некоторое подмножество фазового пространства. В следующем разделе
мы увидим, что оператор потока d/dtk можно связать с элементами -iH%kt k
^ 0, алгебры si(2, С). Эти элементы вместе с элементами -/#?*, &
< 0, образуют подалгебру Гейзенберга в
si(2, C) + Z, т. е. в алгебре петель si(2, С), пополненной центральным
элементом.
С другой стороны, переход от одного типа решений к другому (при
фиксированных значениях tk) осуществляется преобразованием Бэклунда.
Сейчас мы подошли к очень важному вопросу. Для подхода этого раздела
пригодны лишь такие преобразования Бэклунда (5.134), в которых
00
1 Ь
Причина в том, что для того, чтобы R совпадало с k, оно должно
00
записываться с помощью экспоненты от элемента ?
292
Глава 5
Преобразования Бэклунда, относящиеся к этому классу R, включают
преобразования, добавляющие связанные состояния и солитоны, но не
включают преобразования Бэклунда - Шлезингера. Эти последние относятся к
дискретным симметриям, и соответствующий элемент группы g не может быть
просто представлен как krxn, но должен включать в матричном представлении
средний элемент, являющийся диагональной матрицей.
Поэтому многое нужно еще сделать. Во-первых, следует понять, как
расширить группу G, чтобы включить в нее дискретные симметрии. Во-вторых,
хотелось бы иметь теорию, подобную теории семейства КдФ, которая
обсуждалась в разд. 4g. Здесь аналогией (5.223) является (5.90)
Q = kXk~\ k = U, (5.232)
где Х = -F + E/X и О задано в (5.90). Фазовое пространство целиком
покрывается с помощью присоединенного действия потоков и преобразований
Бэклунда. Дискретных симметрий нет. Не составит большого труда установить
прямое соответствие между формулой (5.232) и соответствующим поведением
т-функ-ции %(t\, t2, /3, •••) под действием потоков и под действием
преобразований Бэклунда (см. упражнение 5j (2)).
В нашей ситуации фазовое пространство разделено на дискретные части,
каждая из которых помечена монодромными свойствами V в точке ? = оо. В
каждой части потоки и преобразования Бэклунда, добавляющие солитоны и
связанные состояния, действуют как непрерывные симметрии. Чтобы перейти
от одной части фазового пространства к другой, требуется преобразование
Бэклунда - Шлезингера. Теперь вспомним из (5.169Ь) и (5.174Ь), что
действие преобразования Бэклунда - Шлезингера можно трактовать как сдвиг
бесконечной в обе стороны последовательности
тя-1> тл> тл + 1> • • •}>
соответствующей состоянию цепочки Тоды при любых заданных значениях
времен tk. Введенные ранее потенциалы р, т, а могут быть любой тройкой
стоящих друг за другом членов этой последовательности, и этот триплет
будет удовлетворять семейству уравнений Хироты и соответствовать решению
иерархии АКНС. Похоже, что аналог т-функции семейства КдФ - это не одна
функция или триплет, но бесконечная последовательность.
Если это действительно так, то т-функцию нужно считать не просто функцией
бесконечного числа непрерывных времен, но также функцией целого числа п.
Потоки меняют непрерывные времена. Преобразования Бэклунда меняют
характер т, пере-
Связующие звенья между чудесами солнтонной математики 293
водят вакуумное состояние в односолитонное и т. д., но сохраняют
неизменными п и Преобразования Бэклунда -
Шлезингера меняют дискретную переменную. Какая группа связана с этими
действиями и как инфинитезимальные действия связаны с алгеброй Каца -
Муди? Как выбор градуировки указывает на необходимость дискретных
симметрий? В главной градуировке в si(2, С), которая давала нам
(упражнение 5с(3)) семейство КдФ, была лишь одна т-функция и не было
дискретных симметрий. В однородной градуировке был бесконечный набор
дискретных симметрий и т = т(я, Д) как функция п и t\ удовлетворяла
уравнениям цепочки Тоды. Алгебра петель, связанная с si (г, С), г > 2,
может иметь более чем один набор дискретных симметрий, в зависимости от
