Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
р (ф, 0) = б (ф - ф0) и р(л, t) = р(- л, t) при -Л^ф^Л,
Л
^ р (ф, t) d(f = 1 при всех t.
Элементы теории информации и кодирования 211
В пределе при t-*- оо выполняются соотношения р(п) = р(-л)
S+я
р (ф) dqp = 1, поэтому
-я
D = ----------ехр1~2Ря)~.1 ; (4.5.90)
^ exp [- (a cos х + р*)] dx
- Я
S+я
р (ф) dcp = 1.
-я
В частном случае со = со0(А = 0) и D = 0
1 1
+я 2я/о (а) '
^ ехр (а cos ср) dtp
(4.5.91)
поэтому
= <4'5-92>
Важную роль играет параметр а. Так как а = 4A/KNo, мьИло-жем записать его
в виде а = A2/N0(AK/4). Но А2-мбщность принятого сигнала, в то время как
АК/4 - просто ширина полосы частот петли BL, и а = A2/NoB0 - отношение
сигнал/шум ширины полосы петли синхронизации. Соотношение (4.5.92)
напоминает гауссовское распределение при больших отношениях сигнал/шум и
при стремлении а к нулю становится плоским. Действительно, при а->-оо
входящая в (4.5.91) функция Бесселя /о дает
h (ф)
Р (ф)
V2jt<x
exp (a cos ср) exp [a (cos <р - 1)]
2я/о (a) V2it/a
или, если воспользоваться разложением в ряд Тейлора,
р(ф)= ехР{(-афУ2)[1-(2фУ4!) + (2срУ6!)+...]} >
¦\2я/а
(4.5.93)
При большом параметре а величина р(qp) быстро убывает с ростом ф.
Следовательно, функция р(ф) очень мала при всех значениях ф, кроме самых
малых. Члены высшего порядка в разложении cos ф в ряд Тейлора очень слабо
влияют на средние-• не очень большие и не очень малые - значения р(ф).
212
Глава 4
Кумулятивное стационарное распределение имеет вид
ф!
?4l<Pl<<Pi)= ^ р(ф>?/ф, 0<ф!<л, (4.5.94)
-ф!
И при 0) = 0)0, поскольку
р = еХ2я77Га)ф) = -Щ^) [/, (") + 2 Z /"(<*) cos/1ф1,
L rt=l J
приводит к разложению
ф1 СО
Р(|Ф1<Ф,) = 2^(ф)^ = Д1. + |-? '"'"LTJr' - <4-5Е,5>
О га =1
Этот ряд сходится очень быстро.
Аналогичным образом может быть вычислена дисперсия величины ф:
+ Л оо
2 1 Г 2 / \ . я2 . , V* (- О" Jn
(а)
°1=ы7(а) J ф-ехр(асозФ)^ф = -т+4 2, пЧв (ау~ •
- Л П = 1
(4.5.96)
Этот ряд сходится еще быстрее, и при а -у 0 мы получаем °ф ~^л2/3 (это
дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на интервале от -
л до +я).
В общем случае при и ф (оо (А ф 0) для вычисления соответствующих
интегралов необходим компьютер. В этих случаях стационарное решение может
не существовать. (Относительно численного моделирования синхронизации см.
приложение В.)
Наконец, необходимо рассмотреть следующий вопрос. Случайный процесс, о
котором сейчас идет речь, есть не что иное, как рассогласование по фазе,
и мы прежде всего следим за тем, чтобы абсолютная величина |ф| при всех
значениях t (t - время) по возможности не превосходила некоторого
заданного "предельного" значения фь Ценной статистикой для такой задачи
служит математическое ожидание времени (среднее время), за которое
рассогласование по фазе первый раз достигнет предельного уровня +ф[ при
условии, что начальное рассогласование по фазе фо задано, причем ф0 < фь
С такого рода задачей о среднем времени первого выхода на границу тесно
связана частота мертвых циклов. (Механическим аналогом послед-, ней
характеристики служит величина, обратная математическому ожиданию времени
полного оборота маятника (в любую сторону).) В случае ПСФ частота мертвых
циклов есть не что иное, как частота, с которой петля обратной связи в
генераторе с управлением по напряжению нарабатывает или сбрасывает
Элементы теории информации и кодирования
213
полный цикл относительно принятого сигнала. И в том и в другом случае
речь идет о том, чтобы при определении математического ожидания времени
положить cpi = 2л.
Нас будет интересовать только рассмотренный выше случай петли первого
порядка, когда невозмущенная частота генератора с управлением по
напряжению подстраивается под частоту принятого сигнала (со = сс>о), в
силу чего равновесное положение фазовой ошибки есть ср = 0. В петле
первого порядка тот же подход может быть использован и при со Ф соо, но
результаты выражаются интегралами, вычислимыми не аналитически, а
численно. Поэтому мы для простоты предполагаем, что со = со0 и петля
первоначально синхронизована, т. е. ср0 = 0.
Пока рассогласование петли по фазе (или "угол отклонения" маятника)
остается в пределах | ср | < cpi, функция плотности вероятности для ср,
которую мы обозначим q(($,t), удовлетворяет уравнению Фоккера - Планка
^ 1(ЛК Sin ф) q (ф, /)] + ^ (4-5.97)
при всех | ср | С cpi и начальном условии ^ (ср, 0) = 8(ср). Мы
обозначили функцию плотности вероятности рассогласования по фазе через
q((f, /), чтобы отличать ее от соответствующей функции р(ф,/) для
неограниченного случая. Как только |ср| впервые достигает предела cpi,
маятник мгновенно перестает действовать, поэтому с?(срП) = 0 при всех
|cp|^cpi и всех t.
Таким образом, помимо начального условия мы имеем при всех t граничные
условия q(q>\,t)=q(-cpi, t) = Q. Решение
уравнения Фоккера - Планка на интервале -cpi < ср < cpi, удовлетворяющее
этим граничным условиям, дает нам q(q>,t). Интеграл от q(q>, t) по этому
интервалу
cpi
