Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рад/(В-с).
Таким образом, производная по времени фазового угла выходной фазы
генератора с управлением по напряжению определяется уравнением
-jf- = (r)о + %2е (О- (4.5.54)
Сигнал на выходе усилителя имеет вид
л: (/) = 2 АК\ sin ft (/) cos ft' (() =
= АК1 {sin [ft (t) - ft' (/)] + sin [ft (t) + ft'(/)]}• (4.5.55)
Член с суммой частот исключается комбинацией фильтров в генераторе с
управлением по напряжению, и его можно опустить.
Линейный фильтр, инвариантный относительно сдвига по времени, действуя на
входной сигнал x(t), преобразует его в выходной сигнал
t t
е (/) = %(/)+ $ x(t - t')f(t')dt'= e0(l) + ^ x(t')f(t - t')dt'
о о
(4.5.56)
при t ^ 0, где предполагается, что сигнал на вход
поступает
при t = 0. Здесь e0(t) ¦-"нулевой" сигнал на входе,
который
зависит от начальных условий при t=0. Обычно мы полагаем e0(t) = Q при
всех t. Весовая функция f(t) известна под названием импульсная
характеристика фильтра. В результате мы получаем уравнение
t
= со0 + К2 J / (/ - (') АК\ sin [ft (С) - ft' (/')] dt'. (4.5.57)
0
Если ввести по определению рассогласование по фазе ф(^) = = #(/) - и
коэффициент усиления петли К = КХК2, то
f
= АК \ f (t - t') sin vindt', (4.5.58)
о
Элементы теории информации и кодирования
205
ИЛИ
t
-Щр- = со - сoQ- AK^f(t -t') sin ф(/')dt',
'Т' 0
или, наконец,
t
= а - АК J / (/ - /') sin Ф (/') dt'. (4.5.59)
о
При заданной входной частоте со (t) решение ф(0 интегродиф-ференциального
уравнения (4.5.59) дает точное описание того, как действует петля фазовой
синхронизации, т. е. динамики синхронизации по фазе.
Предположим теперь, что существует широкополосный гауссовский шум с
нулевым средним, который наложен на принятый сигнал. После прохождения
через узкополосный фильтр, вырезающий интервал частот с центром co0, шум
со спектральной плотностью N о Вт/Гц определяется стационарным процессом
я (0 = V2 [П{ (t) sin со0/ + По (/) cos (c)о/], (4.5.60)
где rii(t), "г(0-независимые гауссовские процессы с ненуле-
выми средними и одинаковыми спектральными плотностями.
Чтобы выяснить, как влияет на аддитивный "белый" (гауссовский) шум ПСФ,
выберем принятый сигнал в виде
V 2 A sin -& (t) + п (t) =
- V2 (Л [sin сo0t + O'j (/)] + п, (t) sin со0t + n2 (t) cos co0?},
(4.5.61)
где fh(/) -tf(0- (,)Л-
Сигнал на выходе генератора с управлением по напряжению имеет вид
л/2 К\ cos Ь' {t) = л/2К\ cos [со0/ + ^(О]. (4.5.62)
где ft2(t)= $'(t)~ aot. Разумеется, в этом случае ft'(О -функция не
только модуляции сигнала "&(/), но и шума. Сигнал на выходе усилителя
имеет вид
.v (t) = АК\ sin [fti (t) - (/)] - К\П\ (t) sinfb^ (t) + K\ti2 (t)
cos$2(t) 4-
+ AhC, sin [2co0/ + -&1 (t) + ^2 (01 + Kifii (t) sin [2co0/ + d2 (/)] +
+ (t) cos [2<±>0/ + $2 (01- (4.5.63)
Всеми членами, центрированными на частоте 2w0 рад/с, можно пренебречь,
так как спектр сигнала относительно узок и величинами rii(t), n2(t) при
]о)|>о)0 можно пренебречь, поскольку "частоДа покоя", или
"автопериодическая" частота, о)0
206
Глава 4
генератора с управлением по напряжению гораздо больше, чем диапазон
частот компонент петли.
Итак, мы можем записать
t
e(t) = К\ ^ [Л sin ф (t') - щ (t') sin Ф2 (^i)l +
о
+ п2 (t') cos 'O'2 (О] [/ (t - /')] dt', (4.5.64)
где ф(0= 0(0 -О'(0= Oi(0 -O2(0-
Вводя обозначения К = КуК2 и n'(0 = -tti(0sinO2(0 + + "2(0COS О2(0.
получаем
t
= д_/с J [A sin Ф (О) + п' (0)] f (t - t') dt'. (4.5.65)
о
Если импульсная характеристика фильтра имеет вид дельта-функции, то
уравнение (4.5.65) примет вид
^Р~ = А- АК sin <p(t) - Kn'(t). (4.5.66)
Требуется теперь найти такое решение уравнения (4.5.66),
из которого мы могли бы получить ф. п. в. р(ф), описывающую диффузию
вероятности при синхронизации и, разумеется, на-начальном условии
р (ф, 0) = б (ф - ф0) (4.5.67)
и нормировке
+ оо
^ р(ф, 0^ф=1. (4.5.68)
- оо
Мы предполагаем, что ф(0 -простой марковский процесс [т. е. вероятность
р(ф) того, что фаза принимает данное значение, зависит только от
непосредственно предшествующего состояния (значения)]. Иначе говоря, ф.
п. в. р(ф, t) марковского процесса ф(^) зависит только от начального
условия ф(0) = фо. Соответственно мы обозначим плотность условной
вероятности через р(ф/фо; t). Величина р(ф/фо', t)dq> есть вероятность
того, что значение случайного процесса заключено в интервале между ф и
Ф+сйр, если t секунд назад его значение было равно ф0.
Рассмотрим процесс, в котором временные величины t и At произвольны, и
пусть фо, ф' и ф - значения процесса в моменты времени 10, t\ = +
t и t2 = t\ + At.
Если ф' и фо заданы, то плотность вероятности случайной величины ф мы
можем определить как р(ф/ф'; At, ф0; ?+А0-
Элементы теории информации и кодирования
207
Но так как вероятность перехода в момент времени t\ зависит только от ф',
мы заключаем, что плотность вероятности в момент времени t2 не зависит от
значения ф0 в момент времени t0. Таким образом,
р (ф/ф'; А/, ф0; t + At) = p (ф/ф'; At). (4.5.69)
Из этого определения следует основное интегральное уравнение для условной
