Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где d(nu n2, ..., nK)/d(r, (r)2, ..., O/c-i) - якобиан, ¦fl'i, $2, ¦¦¦ ...,
Oa:_i - соответствующие полярные углы.
Ф. п. в. радиуса г сферы шума может быть вычислена по формуле
Я Я Я
Р(Г)==. 1 [[...[ e-WrK-VdOtdb ... d^K_{ =
<2яст > 0J 0J 0J
= CKrK-le-rll2°\ (4.2.12)
где
Я Я Я
Сд= 'т- \\ \ Fd^db* ... dbK_x (4.2.13)
(2яст ) o' o' о
- постоянная, значение которой определяется из условия нормировки
оо оо
S P{r)dr=\=CK \ гК-1е-гЧ2°г dr = Ск2^-^ак (-§-- l) !,
о о
или
C* = l/2tW2>-%"(-^- l)l (4.2.14V
Элементы теории информации и кодирования
169
Таким образом,
Р(г) =-------------------- rK-ig-ww (4.2.15)
2[(К/2Ы1аК^_1^
т. е. мы приходим к распределению %2.
Нормируя г к среднеквадратичному значению a (rms), т. е. вводя
безразмерный параметр р = r/rTms, где rrms = cr V ^ > получаем для нашей
ф. п. в.
Р (р) = Ско*К"12рК-'е-Р2*/2 = ехр [- р2 + (К - 1) In р],
(4.2.16)
где 1к = СкакКк/2.
Рассмотрим более подробно это (окончательное) выражение для ф. п. в.
(нормированного) радиуса гиперсферы шума. Эта ф. п. в. имеет единственный
максимум при
<ЭР(р)
ар
= 0, (4.2.17)
или
откуда
d
dp
[~92т + ^- 1>1пр] = °, (4.2.18)
Р -Ро д/ % д/1 21VT ' (4.2.19)
При возрастании W (или Т) ро->-1. Это означает, что наиболее вероятное
значение для радиуса г гиперсферы шума всегда меньше, чем a^2WT, но
асимптотически стремится к этому среднеквадратичному значению, когда либо
ширина полосы, либо продолжительность сигнала возрастает. Выясним теперь,
насколько узок этот максимум, насколько хорошо определена, четко выражена
или гладка гиперсфера шума. Для этого нам необходимо вычислить абсолютную
величину второй производной от экспоненты в (4.2.16) в точке р0.
Производя соответствующие вычисления, получаем 2/C = 4WT. Итак, мы видим,
что при К-^-оо острота максимума (р0->-1) становится бесконечной. Это
означает, что в пределе при ро->1 весь объем гиперсферы сосредоточивается
на поверхности "полой" сферической оболочки радиуса a^2WT . Нечто
подобное мы уже доказали раньше- в разд. 4.1. Однако в этом случае
детектирование неизвестного сигнала Х(г') по измерениям принятого сигнала
Y(/) становится неоднозначным, как показывает рис. 4.7, так как
гиперсфера шума в этом случае ведет себя уже не как рыхлое облако, а как
"безволосая" - гладкая - детерминистическая
170
Глава 4
сферическая оболочка (четко выраженная граница) радиуса
a^/2WT. Следовательно, при больших K - 2WT мы вполне обоснованно
отказываемся от вероятностной трактовки искажения и рассматриваем
принятый сигнал как корректируемый, если
сферы шума с детерминистическим радиусом ол/2\УТ, описанные вокруг точек,
соответствующих сигналам, отличаются друг от друга настолько, что
искаженный сигнал допускает однозначную интерпретацию как порожденный
единственным сигналом,
отстоящим на расстоянии a -yj2WT от принятого сигнала. Таким
образом, увеличение ширины: полосы (например, использование частотной
модуляции) приводит к трем эффектам:
а) уменьшает неопределенности границы сфер шума;
б) фиксирует радиус сфер'
(г -" ст V2WT );
в) делает разностные сигналы почти ортогональными в пространстве
состояний, тем самым минимизируя кросскорреляции сигналов и облегчая
процесс принятия решения на выходе декодера канала.
Увеличивая "другой" параметр в формуле Шеннона, а именно отношение
сигнал/шум, мы усиливаем сигнал по сравнению с шумом и отделяем одну
сферу шума от другой. Действительно, все сигналы с X2 отображаются на
поверхность сферы радиуса X -\j2WT, причем каждый сигнал окружен сферой
шума радиуса a^/2WT. Если о остается постоянной, а X возрастает, то
расширяющаяся сфера сигнала разносит сферы шума друг от друга. С другой
стороны, если возрастает Г, то радиус сферы сигнала укорачивается; при Г
< 1 сферы шума заведомо перекрываются, но, к счастью, это не приводит к
неоднозначности и,, как мы уже доказали, не мешает надежному приему при
условии, что W возрастает. Даже если (четко выраженные) сферические
оболочки шума перекрываются, искаженный сигнал все же может быть
правильно дешифрован, если мы станем интерпретировать его, как показано
выше, т. е. считать, что сигнал порожден не (обязательно) ближайшей
точкой в пространстве сигналов, а точкой, отстоящей от принятого сигнала
на расстоя-
Рис. 4.7. При 2WTоо сфера шума утрачивает "волосы" и становится
"гладкой".
Элементы теории информации и кодирования
171
ние а -\/2WT '). В заключение мы можем сказать, что весь процесс передачи
и приема семейства волновых сигналов-¦ гипервекторов- включает в себя
последовательность "расширения" и "сужения" размерности пространства
состояний, т. е. увеличения и сокращения числа степеней свободы
переданных сигналов.
На передающем конце канала связи усилия, направленные на эффективное
кодирование, требуют ортогональности "слов"- элементов репертуара
передатчика. Эта цель достигается путем увеличения ширины полосы W или
времени передачи Т, приводящего к увеличению размерности (2WT)
