Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
r(f+1)
т. е. мы получаем формулу, которую использовали при вычислении энтропии
я-мерного оптического изображения (разд. 3.4).
Интересные данные о характере зависимости объема единичной сферы (г = 1),
т. е. коэффициента Сп, в зависимости от размерности я евклидова
пространства приведены в табл. 4.1.
К своему удивлению мы обнаруживаем, что объем единичной сферы сначала
возрастает с увеличением я и достигает максимума при я = 5, но быстро
убывает до нуля при я->-оо! При я = 2К объем я-мерной сферы радиуса г
равен
? г* = ???-. (4.1.27)
Так как К > лг2, увеличение К (или я) приводит к уменьшению объема. Более
того, при любом сколь угодно большом г при увеличении размерности
пространства объем сферы может
156
Глава 4
Таблица 4.1. Объем единичной сферы в евклидовых пространствах различной
размерности
п
1 2
2 3,4
3 4,188
4 4,93
5 5,26
6 5,16
7 4,72
8 4,05
я*
2 К -~ -> 0 при д -> оо К!
-быть сделан сколь угодно малым. [При нечетных п объем Vn(r), как видно
из формулы (4.1.26), при увеличении п изменяется гладким образом.]
Рассмотрим теперь ту часть объема n-мерной сферы, которая заключена
внутри слоя (или оболочки) сколь угодно малой толщины вблизи поверхности
сферы. Эта часть составляет
Объем оболочки _ Спгп - Сп(г - д)п ^ / j бХ" j 2g\
Объем сферы Спгп \ г ) '
и доля ее стремится к 1, когда п возрастает при заданном б. Так мы
открываем для себя еще одну удивительную особенность n-мерной сферы:
почти весь объем такой сферы, так сказать, сосредоточен сколь угодно
близко от поверхности. Внутри п-мер-ной сферы при больших п просто не так
уж много места, весь объем сосредоточен у поверхности сферы!
Наш экскурс в геометрию п-мер-Рис. 4.3. "Парадокс" централь- ного
пространства мы завершим ной сферы в n-мерном евкли- еще более
поразительным парадок-довом пространстве (см. текст). сом, также
связанным с л-мерными
сферами (рис. 4.3). Предположим, что дан квадрат 4X4 с центром в начале
координат (0,0), в который вписаны четыре единичные окружности - по одной
в каждом из четырех углов. Вычислим радиус окружности с центром в начале
координат, касающейся ближайших к началу координат точек четырех
единичных окружностей. Этот
Элементы теории информации и кодирования 157
радиус равен
г2 = V( 1 - О)2 + (1 - О)2 - 1 = V2 - 1 =0,414. . . . (4.1.29)
Рассмотрим далее аналогичную задачу в случае трех измерений, т. е. куб
4X4X4 с восемью вписанными в углы единичными сферами. Внутренняя сфера с
центром в начале координат имеет радиус
г3 = V(l - О)2 + (1 - О)2 + (1 - О)2 - 1 = д/з - 1 = 0,732....
(4.1.30)
Наконец, перейдем к n-мерному пространству. Построим гиперкуб 4Х4Х ••• Х4
с 2п единичными сферами в углах, каждая из которых касается всех п
соседних сфер. Радиус внутренней сферы равен гп = л/п - 1; при п = 10 это
дает
г10 = Л/То'- 1 =3,16- 1 = 2,16 > 2. (4.1.31)
Неравенство по7> 2 означает, что внутренняя сфера простирается за пределы
куба!
Чтобы подчеркнуть этот кажущийся парадокс еще больше, рассмотрим объем
этой п-мерной внутренней сферы в сравнении с объемом всего куба как
функцию от п. Предположим (для упрощения вычислений), что п четно, т. е.
п = 2К. Тогда
Объем внутренней сферы " (л/й - l)" р - l)2^
Объем куба " Й " Ж Й* "
n*(Vaf* Ш?К IV, 1
К\ 4
Ж
к-w) г
Используя для К\ приближение Стирлинга, а именно К,\ " " Кке~к д/2ЙГ и
предельное соотношение lim [1 - (1 jx)]x = 1/е,
Х->оо
получаем
Объем внутренней сферы лк-21<'К^ а-\!ж ( е~^2к-
с W-Y________________________
Объем куба А2К-Кке к-\/2п.К V 8 / -^2пК
(4.1.33)
Так как
1,0675,
нетрудно видеть, что при увеличении К множитель {ле/8)к неограниченно
возрастает быстрее, чем два других множителя
158
Глава 4
exp (-д/2 К) и 1 / д/2jx/C стремятся к нулю. Таким образом, мы заключаем,
что при /С-э-оо объем центральной (внутренней) сферы становится сколь
угодно большим по сравнению с объемом куба, содержащим все 22к - 2п
единичных сфер, вписанных в его углы. (К такому же выводу мы пришли бы и
в случае нечетной размерности п - 2К-1 пространства, но вычисления были
бы более громоздкими.)
Наконец, выясним, что происходит при увеличении п с гипервектором,
проведенным из начала координат в точку (1, 1, ..., 1). Так как все
направляющие косинусы такого гипервектора равны 1/д/п,мы видим, что при
п->оо наш гипервектор становится "почти" перпендикулярным ко всем осям
координат! Это обстоятельство имеет огромное значение для создания
эффективных кодов, способных преодолевать шум в канале связи (разд. 4.2).
На этом мы завершим свой экскурс, посвященный различного рода тонкостям
многомерного евклидова пространства, и вернемся к проблемам передачи
информации и оптимального приема непрерывных волновых сигналов, которые
мы уже успели заменить гипервекторами в п-мерном евклидовом пространстве
(n^=2WT).
На языке формул это означает, что испущенный источником сигнал X(t)
заменен гипервектором Х(/) с координатами х\, х2, ..., x2wt, амплитуды
которых равны амплитудам сигнала X(t) в (выборочные) моменты времени О,
