Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
могут быть распределены среди этих степеней свободы.
146
Глава 3
Спрашивается, сколько чисел необходимо для того, чтобы полностью задать
(оптическое) изображение? Следуя работе ди Франциа [3.5], рассмотрим
идеальный (оптический) прибор с одномерным зрачком ширины а (рис. 3.14).
Сферическая волна падает на конечную апертуру: X- длина волны, Оо -угол
падения (т. е. угол между лучом зрения и нормалью к апертуре).
Интенсивность освещенности как функция углового расстояния g определяется
выражением
т -2 Г sin я* \2
/~sinc2x=(-^1 , (3.4.37)
где
| О0 - О | a t а
X X
График функции у = sine* показан на рис. 3.15, а. Следовательно,
/=sinc2(|y). (3.4.38)
Рис. 3.14. Плоская волна, падающая на апертуру шириной а под углом
падения до.
Преобразование Фурье функции sinc2(ga/X) есть функция (X/a)triang(fX/a),
график которой представлен на рис. 3.15,6, где / - частота. Ясно, что
спектр функции sinc2(?a/A.) имеет критическую частоту /с ~ а/Х.
Применение теоремы Шеннона
Рис. 3.15. а - график функции (/ = sinc(x); б - график функции у =
triang(*).
(см. разд. 4.1) приводит к выводу, что освещенность апертуры полностью
определяется ее значениями в дискретных точках (выборочных точках),
отстоящих друг от друга на расстояние Х/2 а. Если -полный угол зрения
оптического прибора, то полное число выборочных точек равно 2\а/Х.
Рассмотрим теперь двумерный зрачок, имеющий, например, форму
прямоугольника со сторонами а и Ь. Изображение то-
Сферические электромагнитные волны и информация
147
чечного источника (сферической волны) представлено функцией
/ = sinc2(gy) sine2 (^х)> (3.4.39)
где р. - угловое расстояние вдоль оси у. Применив в данном случае теорему
Шеннона, мы получим число выборочных точек, необходимое для полного
задания изображения; оно равно 4|ji (ab/K)2. Если Й- полный телесный угол
зрения и S - площадь входного зрачка оптического прибора, то число
степеней свободы изображения равно
F = 4Qjs-. (3.4.40)
Теперь мы подходим к заключительной части наших вычислений- ответу на
вопрос о том, сколькими способами мы можем распределить N фотонов по F
степеням свободы с учетом числа способов, которыми Л0 фотонов
распределены по каждой отдельной i-й степени свободы (3.4.36).
Представим себе, что Si, задаваемые соотношением
(3.4.36),- координаты в некотором Е-мерном пространстве. Число различимых
конфигураций равно числу узлов решетки с целочисленными координатами
внутри гиперсферы радиуса 7? = 2(1 + 2N")-x/2Nl/2 в том секторе, где все
Si положительны. Иначе говоря, число различных конфигураций (при больших
N) совпадает с объемом этого сектора гиперсферы, который (подробное
изложение геометрии л-мерного евклидова пространства см. в разд. 4.1)
равен
Р = (lt/4)F/2 -RF = l- ( nN- У7", (3.4.41)
Г [(F/2) + 1] T[(FI2) + \] \l+2NnJ
где Г (x)-гамма-функция.
Информационная емкость волны равна log2-f)- Используя формулу Стирлинга,
получаем
1пГ(т+ 9~т[|п(т)- ¦]•
записав это соотношение в Еиде
log2 г (4- + 1) ~ т [1о^2 (4-) ~ 1о§2 е] . (3.4.42)
мы получаем формулу
log2P = - log2 2:teN_- gHT (3.4.43)
82 2 & F(\+2Nn)
или
- logo---2ite/V_- ^ит на степень свободы. (3.4.44)
2 62 F(\ + 2Nn)
148
Глава 3
Выражение (3.4.44) задает физическую энтропию сферической
электромагнитной волны, несущей N фотонов, которая в присутствии шума с
средним значением Nn создает на конечной апертуре изображение с F
степенями свободы. Как мы увидим, эта энтропия не имеет ничего общего с
теоремой Шеннона о выборке о.
Таким образом, мы приходим к выводу, что физический прием сигнала
неоднозначен. Обусловлена эта неоднозначность четырьмя различными
причинами.
а) Существование флуктуаций фотонов в каждой нормальной моде (степенях
свободы электромагнитного поля).
б) Конечность апертуры прибора, принимающего сигнал. Конечность приводит
к двум следствиям: действуя как пространственный фильтр, она искажает
пропорции распространяющихся компонент падающей сферической волны и,
кроме того, наделяет принятое изображение конечным числом степеней
свободы. Неоднозначность изображения в этом случае обусловлена тем, что
сферическая волна обладает бесконечно большим числом степеней свободы.
в) Недетектируемость фазы: во многих распространенных системах связи фаза
волны не детектируется, вследствие чего переносимая фазой информация
необратимо утрачивается (но в голографических системах фаза сохраняется и
содержащаяся в ней информация декодируется).
г) Потеря исчезающих волн: "половина" информации, закодированной в
сферической волне, необратимо теряется из-за того, что мы не можем
спроектировать рецепторы, способные принимать как бегущие, так и
исчезающие волны.
о Физическая энтропия волны связана с числом способов, которым может быть
распределена по степеням свободы создаваемого изображения энергия, не
превосходящая некоторого заданного предела.
С другой стороны, селективная, или информационная, энтропия связана с
числом способом, которым любое заданное распределение различимых
