Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Ш=кТ>§- (faf -^11%-ж ¦ (3.4.16)
Среднее квадратичное дробной флуктуации равно
Д?* / hw /о ,
Сферические электромагнитные волны и информация 143
Если правую часть соотношения (3.4.17) выразить через Е, то оно примет
вид
При высоких температурах (hv/kT <С 1) устанавливается равнораспределение
энергии, поэтому
т. е. дробная флуктуация стремится к единице, когда средняя энергия
становится большой.
Мы видим, что выражение для среднего квадратичного дробных флуктуаций
(3.4.18) можно разбить на два члена: "классический член", по существу
соответствующий интерференции волн с случайными фазами, который приводит
к соотношению
(3.4.22), и "квантовый член". Этот квантовый член флуктуаций (hv/kT 1)
соответствует тому случаю, когда энергия представлена в виде энергии
независимых частиц (фотонов), которые скачками переходят из одного
зарешенйого состояния в другое и тем самым порождают флуктуации.
Рассмотрим теперь N нормальных мод, взаимодействующих между собой
некогерентно. Пусть En - энергия N нормальных мод, Ео - энергия любой из
них, тогда Ем = NE0,
При больших N дробные флуктуации малы. Это соответствует требованию,
согласно которому дробные флуктуации энергии макроскопической системы,
находящейся в контакте с термостатом, должны быть малы-в соответствии с
опытом.
Д Ег Е*
1 +
h\
Е
(3.4.18)
E~kT, Ш1 = (kT)2
(3.4.19)
(3.4.20)
и
(3.4.21)
или
Е2 = 'IE2,
(3.4.22)
AEqu ~ hvE
(3.4.23)
и
(3.4.25)
144 Глава 3
Рассмотрим теперь реалистический случай, когда в процессе связи мы имеем
суперпозицию детерминистического сигнала Es и компоненты теплового шума
Еп. Нас будет интересовать взаимодействие между циклической частотой ац
фурье-компоненты сигнала и циклической частотой а>2 фурье-компоненты
шума. Наше изложение следует работе Габора [3.4]. Мгновенное значение
плотности энергии, возникающей вследствие интерференции, пропорционально
ESE\ + ЕпЕ'п + {EsE'n ехр [/ (со, - со2) t] + E*sEn ехр [- / (со, - |со2)
t],
где звездочками обозначены комплексно-сопряженные величины. Первые два
члена соответствуют энергии сигнала и энергии шума, а члены, заключенные
в фигурные скобки, возникают вследствие интерференции. Следуя Габору,
запишем
6 = 8s + еп + zsn> (3.4.26)
где es, ея, е6-п - плотности энергии сигнала, шума и интерференции.
Среднее значение интерференции esn равно нулю, вследствие
(предполагаемого) полного отсутствия интерференции между сигналом и
шумом. Среднеквадратичное значение энергии интерференции равно
^=2Ё&ЩД = 2в3гп, (3.4.27)
так как es - детерминистический сигнал. Среднеквадратичные флуктуации
полной интенсивности представимы в виде
(е - ё)2 = [(gs + е" + О - (&s + ё")]2, (3.4.28)
но так как es - es,
(е - ё)2 = (е" + еот-ё")2 = е2 + е2 + 2е^ - 2епе" - 2es"S".
(3.4.29)
Используя соотношения esesn = enesn = 0 (которые выполняются из-за
отсутствия корреляции между сигналом и шумом) и (3.4.27), получаем
(е " ё)2 = < + 2езёп + ё2 - 2^fn = % - ё2 + 2ese". (3.4.30)
Но из формулы (3.4.22) для классического члена флуктуаций следует, что
е2 = 2ё2
П П1
поэтому
(8-ё)~с1а53 = 2еА + ёю (3.4.31)
Сферические электромагнитные волны и информация
145
или, так как es==e -е" (es" = 0), окончательно
(е - (r))class = 2 (ё - ё") ё" + ё2 = (2ё - ё") ё". (3.4.32)
Квантовый член флуктуаций был уже получен нами ранее (соотношение
(3.4.23)), поэтому
(е - (r))qu = Av(r)- (3.4.33)
Складывая соотношения (3.4.32) и (3.4.33), получаем полную интенсивность
флуктуаций в системе, которая состоит из детерминистической волны,
окруженной тепловым шумом,
(е - ё)2 = hve + 2ёёп - ё2. (3.4.34)
Выражая энергии ё, г" через число фотонов N, приходящихся на одну
нормальную моду, т. е. полагая e = Nhv и &n = Nnhv, получаем из
соотношения (3.4.34)
W2 = (N - N2) = N (I +2Nn)-Nl, (3.4.35)
где Nn = 1 / [exp (hv/kT) - 1 ] = <n>.
Задача теперь состоит в том, чтобы определить число различимых способов
(ступеней, энергетических уровней), которыми можно распределить dN
фотонов в нормальной моде с неопределенностью (бN2)1/2 между
последовательными уровнями. Ответ известен: число таких способов равно
dN/(6yV2)1/2. Следовательно, число способов (уровней), которыми до Ni
фотонов
могут быть распределены в одной (i-й) нормальной моде, равно
при больших N
Г* dN г" dN 2Nl12
S,= \ \ -г------------------г----Z-тж =---------=---• (3.4.36)
дТ (б*2) J [N (1 + 2Nn) - Nl) (1+2Nnf2
п п
Логарифм величины S,- по основанию 2 - log2 Si - равен энтропии каждой
нормальной моды (i-й), т. е. априорной информации, переносимой каждой
дискретной степенью свободы электромагнитного поля.
Прежде чем мы получим конечный результат (т. е. найдем число единиц
информации, переносимой сферической волной в шумовом окружении, которая
падает на рецептор конечной площади), необходимо вычислить две величины.
Во-первых, необходимо вычислить число степеней свободы F конечной
апертуры (которое совпадает с числом степеней свободы падающей волны
после приема) и, во-вторых, вычислить число способов, которыми N фотонов
