Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
3.3.3. Полостной резонатор
Предположим теперь, что мы "замкнули" одномерный волновод еще двумя
парами идеально отражающих стенок, образовав тем самым
параллелепипед (рис. 3.13). Какие энергети-
ческие состояния возможны в такой полости, если поместить
в нее точечный источник с заданной поляризацией, испускающий излучение с
частотой
V?
Прежде всего заметим, что в такой полости не будет бегущих волн: в
стационарном состоянии в полости будут существовать только стоячие волны.
Естественно спросить: сколько нормальных мод (степеней свободы) могут
установиться в интервале частот Av вокруг частоты возбуждения v?
Определим их число.
С математической точки зрения мы должны решить волновое уравнение V2w +
К2и = 0 с граничными условиями, налагаемыми идеально отражающими стенками
полости. К счастью, так как среда в полости линейная (вакуум), мы можем
записать решение в виде и = X (х) Y (у) Z (z), где Х(х), Y (у), Z(z)
означают соответствующие компоненты поля и. Из волнового уравнения
следует, что
X"YZ + XY"Z + XYZ" + K2XYZ = О,
или
^Т + ^Г + -^- + (К2х + К2у + К2г) = 0. (3.3.34)
Рис. 3.13. Полость с идеально отражающими стенками.
Так как каждый из членов, содержащих производные, зависит только от одной
из переменных х, у и z, дифференциальное уравнение (3.3.34) разделяется
на следующие три уравнения:
d*X "2 " " d2Y
Сферические электромагнитные волны и информация
135
если Кх, Ку, Kz - действительные волновые числа, то X = Ах cos (Кхх) + А2
sin (Ккх),
Y = Bi cos (Куу) + В2 sin (Куу), (3.3.36)
Z = С[ cos (Kzz) + С2 sin (Kzz).
Для полости с идеально проводящими стенками
г/ lit тг fflTt ту tlTi /п гч
Кх - - , Ку = -, К2 = -^-, (3.3.37)
где а, р, 7-размеры полости, имеющей форму прямоугольного
параллелепипеда, I, m, я- целые числа (номера мод). Тогда в любой точке
внутри полости х-, у- и г-компоненты интенсивности, например,
электрического поля определяются выражениями
Ех (х, у, z) = Е{ cos (Кхх) sin (Куу) sin (Kzz),
Еу (х, у, z) = ?2 sin (Я**) cos (^СуУ) sin (Kzz), (3.3.38)
Ez (x, г/, г) = ?3 sin (Kxx) sin (Kyy) cos (Kzz),
где
K* = Kl + Kl + Kl = tf(^-Y^ + -^r). (3.3.39)
Такие выражения для x-, у- и г-компонент поля возникают, если принять во
внимание поляризацию компонент напряженности поля: например, Ех
поляризована вертикально относительно х, поэтому зависимость Ех от х
должна содержать косинус.
В то же время компонента Ех горизонтально поляризована и по у, и по г,
следовательно, ее зависимость от у и г должна описываться синусами.
Аналогичные соображения применимы к Еу и Ez. Амплитуды Е\, Е2, Е3 поля не
являются независимыми, они связаны законом Гаусса У-Е = 0, который в
нашем случае дает соотношение
КХЕ1 + КУЕ2 + К2ЕЪ = 0, (3.3.40)
или с учетом (3.3.37)
±El+^-E2 + ^-E3 = 0. (3.3.41)
Для кубической полости с ребром длиной а из соотношения (3.3.41) следует
1Е{ + тЕ2 -J- пЕ3 = 0. (3.3.42)
Что касается числа нормальных мод, которые могут быть возбуждены в такой
кубической полости, то рассмотрим какую-
136
Глава 3
нибудь одну данную моду, характеризуемую набором целых чисел /, т, п.
Если cos fti, cos Фг, cos t&3 - направляющие косинусы этой моды и %-
длина волны возбуждения в полости, то с учетом идеально отражающих стенок
должны выполняться соотношения
a cos О, = I -у, р cos $2 = т -у , у cos Оз = п, (3.3.43)
а так как cos2 О] -f cos2 Ог + cos2 Оз = 1,
ijf. = /2 + т2 + я2_ (3.3.44)
Каждую нормальную моду можно представить как точку
в некотором трехмерном пространстве с (дискретными) координатами /, щ, п
(/, т, п = 0, 1, 2, ...). Общее число N нормальных мод приближенно равно
1/8 объема сферы радиуса 2а/Х? поэтому
"~4т(т)3.
или, поскольку частота v = с/% и а3 = V,
<3-3-46>
а число нормальных мод в интервале частот dv равно
dN = ^-Vv2dv. (3.3.47)
Таков ответ для случая, когда в полости имеется только один источник
поляризации. Если же обе поляризации возбуждаются одновременно, то число
нормальных мод в интервале частот dv равно
dN = ^~Vv2dv. (3.3.48)
Как энергия распределена по этим модам? Если величина dN/dv очень велика
(а именно из такого допущения принято исходить при выводе формулы для
dN/dv), то "разумной" является гипотеза о равнораспределении энергии,
согласно которой на каждую степень свободы приходится ~kT джоулей, где Т
- температура в полости, k - постоянная Больцмана. Следовательно, энергия
на единицу объема равна
u{v,T) = ^ff^dv, (3.3.49)
Сферические электромагнитные волны и информация
137
а полная энергия в полости
оо
Г SnkT 9 , и(Т)=) --v-dv = ОО.
SnkT
(3.3.50)
о
Но тогда бесконечно велика и удельная теплоемкость [ди(Т) /дТ] v полости
с вакуумом, а это означает, что мы никакими средствами не можем поднять
температуру .полости, откачанной до глубокого вакуума! Так как
расходимость интеграла (3.3.50) вызвана высокочастотными модами, лет сто
назад ее называли ультрафиолетовой катастрофой.
Проблема ультрафиолетовой катастрофы была окончательно решена Максом
Планком. Мы не будем вдаваться в тонкости квантовой теории, так как они
