Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 50

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 187 >> Следующая

состоящие из ломаных со все возрастающим числом звеньев, различие между
двумя граничными условиями становится все менее ощутимым, и в пределе,
когда мы прибавим бесконечно много тетрад лучей, результирующее поле
где
V Г е'(tm)11 ,
JKRh
• +
R
I
U -I '
Rh = дlr2 + (2/А + z - z0)2,
Rt2 - д/г2 + (2/А + z + z0)2,
Rt з = лЛ-2 + [2 (/+ \)h-z-zQf
(3.3.21)
Ru = л/r2 + [2 (/ + 1) А + z0 - z]2,
удовлетворяет обоим граничным условиям. В этом нетрудно убедиться, если
воспользоваться рядом (3.3.21) и вычислить значение производной du/dz при
г = 0иг = А;ив том и в другом случае оно оказывается равным нулю.
Для того чтобы с помощью ряда (3.3.21) вычислить поле и в принимающей
точке (г, z) аналитически, воспользуемся интегральным разложением
(3.3.18), применив его к каждому члену ехр (jKRi^/Ri.:
IKRl. (я/2)-/.
е
- ^ еК I*7* Icos* H^(Kr sin ft) sin ft d(r), (3.3.22)
^ (-п/2)+/со
где Rit - y\Jr2 + z2l{, a zl{ при / = 1, 2, 3, 4 определяется следующими
выражениями:
2/, = 2А/ + z - 20,
zi, = 2А/ + z + z0,
on , Щ (3.3.23)
Zu - 2 (/ + 1) А - 2 - z0,
Zlt - 2 (/ -j- 1) A - 2 + 20.
Сферические электромагнитные волны и информация 131
Подставляя их в ряд (3.3.21), получаем после несложных преобразований
результирующее поле и в интегральной форме [3.2]:
"=Т;с11(8?,ь!"гг>>1я"'(|г)ед <ЗА24>
- ОО
при Z > z0 и
U= j .Ch Z0)b] (3-3>25)
- 00
при z < z0, где ? = К sin d и b = л/l2 - К2 = jK cos'd. Интеграл
(3.3.24) и (3.3.25) можно также вывести, используя теорему Коши о
вычетах.
Полюсы подынтегрального выражения являются решениями уравнения
sh (bh) = О,
и соответственно равны
bh = jln (I - целое число),
или
Si
± л/К'- (т)!= ± Л/Ш!- (т У ¦ <м-26>
При 2h/X > 1 полюсы располагаются вдоль действительной оси комплексной ^-
плоскости, а при 2/г/Я С 1-вдоль ее мнимой оси.
Чтобы избежать обычных в такой ситуации расходимостей, мы предполагаем,
что среда в волноводе слабо поглощающая (т. е. волновое число К имеет
очень малую мнимую часть); тогда полюсы оказываются чуть сдвинутыми
относительно координатных осей (рис. 3.11). (Нас интересуют только
полюсы, расположенные в первом квадранте, так как полюсы в третьем
квадранте соответствуют просто волне, движущейся влево от источника.)
Наше подынтегральное выражение имеет вид f{z)/g(z)\ если а,- - нули
функции g(z), т. е. решения уравнения g(z) = 0, то
с f (г) п . ¦A f (а.)
S 7W dZ = У ? \dg (г)1дг\г_а, • (3.3.27)
с г=1 1
Применяя эту общую теорему к нашему случаю, получаем
" = ТГ [-Г н°" + Ё cos (тг) "s ("тО н'<1' (V)]. (3.3.28)
где h = У К2 - (Ы/h)2.
132
Глава 3
При |gir|> 1, т. е. на расстоянии г, большом по сравнению с длиной волны,
ряд (3.3.28) переходит в асимптотическое выражение
и
2е'т
1
2 л/К
oiKr
t=i
(3.3.29)
Этот результат относится к вертикальной поляризации (коэффициент
отражения равен +1). В случае горизонтальной поляризации (коэффициент
отражения равен -1) результат оказывается другим.
Ж X X X X X Xl1 X г Ку
х х х X х х X X X X X X г
X
Рис. 3.11. Полюса подынтегрального выражения в (3.3.24), (3.3.25) на
комплексной ^-плоскости (см. текст).
Выясним теперь, как обстоит дело с интерпретацией окончательного
результата. Асимптотическое выражение (3.3.29) задает поле в принимающей
точке как сумму различных энергетических компонент - нормальных мод.
Нетрудно видеть, что каждая нормальная мода состоит из одной тетрады
лучей
(3.3.21). Нулевая нормальная мода не включена в сумму вместе с остальными
модами, а выделена особо. Почему? Сделано это по той простой причине, что
эта мода "гандикапирована": ее собственная "банда четырех" содержит в
качестве члена луч, идущий прямо от источника к принимающей точке и с
аристократическим высокомерием не обращающий внимания на обе границы.
При 2h/% < 1 соответствующие нормальные моды имеют чисто мнимые волновые
числа следовательно, такие моды являются исчезающими волнами,
экспоненциально затухающими вдоль направления г и не распространяющимися
вдоль него.
Сферические электромагнитные волны и информация
133
При 2h/X ^ 1 мы имеем / дискретных распространяющихся нормальных мод,
каждая из которых характеризуется своей собственной фазовой и групповой
скоростью. Таким образом, даже в вакууме волновод порождает дисперсионные
явления вследствие пространственного квантования (ширина h конечна).
Характерные скорости для каждой нормальной моды вычисляются
непосредственно:
Их зависимость от параметра / изображена на рис. 3.12.
Рис. 3.12. Фазовая скорость и групповая скорость как функции числа мод.
В случае горизонтальной поляризации асимптотическое выражение (3.3.29)
переходит в следующее:
т. е. исчезает нулевая нормальная мода. Разложение (3.3.32) может быть
выведено так же, как было выведено асимптотическое разложение (3.3.29),
но исходить при этом необходимо из ряда
со
с
(3.3.30)
Uph' h V1 - (tt/2A)*
и
(3.3.31)
оо
134
Глава 3
так как при горизонтальной поляризации и идеально отражающих стенках г =
0, z = h коэффициент отражения равен -1. [См. (3.3.21).]
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed