Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
система должна включать в себя смесь газов для того, чтобы производство
энтропии в ней совмещалось с нарастающей дифференциацией, приводящей к
образованию сложных структур, т. е. к процессу, на первый взгляд
противоречащему второму началу термодинамики. Именно такую конкуренцию мы
наблюдаем во Вселенной на уровне многих макроскопических масштабов. Итак,
прервем на время наше изложение, чтобы решить задачу об энтропии
расширяющегося ящика.
Предположим, что фотоны в замкнутом ящике ведут себя, как идеальный газ,
т. е. не будем учитывать "световую турбулентность"- реальное явление,
происходящее даже в "вакууме", для которого, однако, требуется
интенсивный (лазерный) пучок света. Из картины идеального фотонного газа
мы попытаемся вывести некоторые термодинамические свойства черного
излучения, например его энтропию. Из уравнения состояния идеального газа
следует соотношение
N mv2 Nrn v2 1 -п 0
p = T-r-=-nr - = jpv2, (2.3.66)
где р - плотность "жидкости".
Обозначим через и(Т) интегральную плотность энергии
оо
спектра черного тела, т. е. и (Т) = ^ и (v, T)dv, где u(v,T) -
о
локальное значение планковского спектра в Дж/(м3-Гц), v - частота [и(Т)
выражена в Дж/м3]. Тогда давление равновесного излучения на стенки
полости равно
р = и (Т)/3. (2.3.67)
Этот результат следует непосредственно из модели идеального фотонного
газа: в таком газе все фотоны имеют одинаковую скорость с, и поэтому
соотношение (2.3.66) переходит в
р = рс2/3.
(2.3.68)
80 Глава 2
Но и из формулы Эйнштейна Е = тс2 мы получаем для плотности энергии
E/V ~ рс2 ~ и (Т) (2.3.69)
и, следовательно, (2.3.67). Запишем еще раз основное термодинамическое
соотношение предыдущего раздела
dQ = dE-\-pdV (2.3.56)
или
TdS = dE + pdV, (2.3.70)
где V - объем полости, Т - температура излучения. Так как
E = Vu (Т), dE = V du(T) + u(T)dV,
получаем
' Т
dE - -^-du(T) + -!L^-dV. (2.3.71)
Кроме того, справедливо соотношение (2.3.67): р = (1/3) и (Г), поэтому
р dV =и (Т) dVI3,
р dV и (Т) dV
ът
(2.3.72)
Подставляя (2.3.71), (2.3.72) в основное термодинамическое соотношение
(2.3.70), получаем
dS
Следовательно,
j a<T,TdV +Xr^p-dT. (2.3.73)
dS\ V du (T)
( dS \_____________V_ du (T) /" о 7СЧ
I dT )v ~ T dT ' ^ ' )
Вторую производную d2S/dVdT можно вычислить независимо из (2.3.74) и из
(2.3.75). Приравнивая смешанные производные, приходим к соотношению
д ( 4 и(Т) \ д ( V du (Т) \
дТ \ 3 Т dV \Т dT )'
Нелинейная динамика и статистическая физика
81
из которого, последовательно преобразуя его, получаем
4 / 1 du(T) и(Т)\ 1 du(T)
3 V Т dT Т2 Т dT '
4 du (Т) 4 и (Т) du (Т)
У dT У Т dT '
du(T) и (Т) dT Т '
du (Т) _ . dT и (Т) Т '
In [и (Г)] = 1п Г4 + In а = 1п (аГ4),
где а-постоянная, и наконец,
и (Т) = аГ4 (2.3.76)
(разумеется, мы лишь повторили здесь классический вывод закона Стефана -
Больцмана, предложенный Больцманом).
Подставляя соотношение (2.3.76), например, в (2.3.74), получаем после
интегрирования
5 = -г u{T)V + const. (2.3.77)
Постоянную интегрирования в (2.3.77) можно положить равной нулю, тогда
энтропия 5 будет пропорциональна объему, и для энтропии фотонного газа в
состоянии равновесия мы получаем
S = ±aT3rV, (2.3.78)
где Тг - температура излучения.
Прежде чем рассмотреть совместно соотношения (2.3.65), (2.3.78),
отвлечемся немного, чтобы рассмотреть вопрос о расширении Вселенной (на
основе адекватной нашим целям элементарной ньютоновской динамики). Мы
получим результат, убедительно свидетельствующий о том, что
термодинамическая стрела времени, так сказать, полностью подчинена
"космологической стреле".
2.3.5. Элементы ньютоновской космологии большого взрыва
Если бы Вселенная отвечала представлениям Больцмана (т. е. была замкнутой
статичной Вселенной, приближающейся в целом к состоянию
термодинамического равновесия), то невозможно было бы объяснить
наблюдаемую усиливающуюся дифференциацию физического мира, так как рост
упорядоченности мог бы происходить только за счет гигантских флуктуаций
вокруг положения равновесия. Кроме того, вероятность
82
Глава 2
таких флуктуаций была бы чрезвычайно мала; гигантские флуктуации
встречаются крайне редко - настолько, что, когда они возникают, их с
полным основанием можно считать "чудом". К тому же время жизни гигантских
флуктуаций очень мало.
В картину статичной Вселенной не укладываются два внешне не связанных
между собой явления:
а) эпохальное открытие, совершенное в 1929 г. Э. Хабблом, который
обнаружил, что величина красного смещения в свете, приходящем к нам от
далеких галактик, пропорциональна расстоянию до испускающего свет
объекта;
б) такое ежедневно, или, точнее, "еженощно" наблюдаемое явление, как
темнота ночного неба.
Начнем со второго явления, суть которого была облечена в форму парадокса
Оль-берсом в 1826 г. (Ранее тот же вопрос был рассмотрен Г аллеем.)
Как показывают проделанные Ольберсом простые вычисления, ночное небо
должно было бы быть не темным, а ослепительно ярким. Рассуждения Ольберса
