Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 25

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 187 >> Следующая

в заданной точке, или в заданном состоянии. Пусть P(x,t) - вероятность
найти систему в точке х в момент времени t. Требуется найти, как эта
функция плотности вероятности (ф. п. в.) эволюционирует со временем.
Вероятность Р(х, t) возрастает из-за переходов из других точек х' и
убывает из-за переходов, исходящих из точки (состояния) х, т. е. dP (х;
t)/dt = "скорость прихода" - "скорость ухода" = / - Г [2.3].
Так как член / учитывает все переходы из начальных точек х'->-х, он
представляет собой сумму по всем начальным точкам х', умноженную на
вероятность совершить за единичное время переход х'->х. Таким образом,
/=Е^(х, х')Р(х'; 0, (2.3.1)
где W{x, х') - вероятность совершить переход х' ->-х за единичное время.
Для "входящих" переходов (/') справедливо соотношение
/' = Р(х; t) I Г(х', х), (2.3.2)
х'^х
где W(x', х) - вероятность совершить переход х->х' (за единичное время).
Таким образом, наше уравнение, описывающее эволюцию вероятности Р(х; t)
(оно называется управляющим уравнением - master equation), имеет вид
^=Е^(х. х') Р (х; t) - P (х; t) ? W (х', х) (2.3.3)
UL х' х'^х
Нелинейная динамика и статистическая физика
59
^разумеется, (х', х)=1, если сумма распространяется и
на саму точку х].
Пока нас не интересует, как решать уравнение (2.3.3); мы хотим лишь
понять, как с помощью этого уравнения перейти от микроскопического
описания к макроскопическому. Умножая обе части уравнения (2.3.3) на х и
интегрируя или суммируя по соответствующему интервалу х, мы получаем
динамическое уравнение, левая часть которого описывает скорость изменения
значения медианы <х> во времени, а именно:
-^(x> = /i {(х), (х2), . . .}, (2.3.4)
где f 1, вообще говоря, нелинейный полином,
Описанный выше процесс усреднения приводит к появлению в правой части
уравнения (2.15) не только медианы <х>, но и старших моментов вероятности
P(\,t). Но почему функция /) нелинейна? [Если бы функция f\ была линейна,
то уравнение (2.3.4) имело бы вид d(x)/dt = fi((x>).]
Дело в том, что в большинстве, если не во всех, реалистических случаев
вероятности переходов (скорости ухода и прихода) W - нелинейные функции
от х. Например, в химических реакциях эти скорости по закону действия
масс ("закону Фика") пропорциональны концентрациям "реагирующих веществ",
иначе говоря, числу способов, которыми можно выбрать пару или группу
"молекул реагирующих веществ" из общего числа молекул. Например, для
реакции 2Х~^Х' скорость пропорциональна 0,5X(Jr-I)= W(X), т. е. в этом
частном случае уравнение (2.3.4) для среднего значения имеет вид
^L=~K(X{X-l)). (2.3.5)
Умножая обе части уравнения (2.3.4) на х2 и еще раз суммируя или
интегрируя, мы получаем феноменологическое уравнение, левая часть
которого есть скорость изменения дисперсии <6х2) распределения Р(х; t):
4-<6*2> = Ы(х>, (6х2>, ...}, (2.3.6)
и /2 - другой нелинейный полином.
Продолжая в том же духе, мы придем к связанным феноменологическим
уравнениям (2.3.4), (2.3.6), ... относительно первого, второго, ...
моментов сколь угодно высокого порядка. Таким образом, тот, кто склонен
считать, что описанные выше процессы усреднения позволяют нам совершить
переход от микроскопического описания к макроскопическому, отнюдь не
обретает каких-либо преимуществ, так как в конце концов мы
60
Глава 2
получаем систему с большим числом степеней свободы. Тем не менее в
принципе такое предположение правильно.
Однако в большинстве случаев рассматриваемая функция плотности
вероятности P(\\t) вдали от особых точек, т. е. вдали от неустойчивостей,
имеет один горб. Это означает, что медиана совпадает с наиболее вероятным
значением; к тому же иногда все старшие моменты (дисперсия, асимметрия,
...) по порядку величины меньше среднего; в этих случаях связующие члены
<6х2>, ... в полиномах /ь /2, ... можно опустить. В результате мы
приходим к так называемому режиму среднего поля, а именно, к
феноменологическому уравнению, которое описывает эволюцию среднего
значения
-^-(х) = /1 {(х)'> Ц)- (2-3.7)
Для систем, состоящих из невзаимодействующих частей, это уравнение
описывает динамику на макроскопическом уровне. Таким образом, переход от
микроскопического уровня на макроскопический уровень действительно
сопровождается весьма заметным понижением числа степеней свободы. Но, как
мы увидим в дальнейшем, в окрестности особых точек приближение среднего
поля утрачивает силу, так как ф. п. в. Р(х; t) обретает более чем один
горб. Наличие нескольких горбов по существу свидетельствует о возможности
появления нескольких состояний за порогом устойчивости, т. е. о появлении
по крайней мере одного ветвления ("би-фуркаций") в решении.
В ф. п. в. с двумя или большим числом горбов медиана не совпадает с
наиболее вероятным значением; усиливаются флуктуации, и на
макроскопическом уровне из-за связей между уравнениями моментов (2.3.4),
(2.3.6),... система выглядит столь же хаотично, что и на микроскопическом
уровне. Тем не менее по завершении такого периода "турбулентности"
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed