Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
так как радиус г убывает при положительных дг и возрастает при
отрицательных дг. Таким образом, мы снова приходим к предельному циклу,
т. е. к круговой- асимптотически устойчивой траектории, притягивающей все
траектории в своей окрестности. Построив график в координатах решение-
управляющий параметр, мы увидим, что этот аттрактор порождает нарушение
симметрии, причем не только потому, что радиус л/а > 0, но и потому, что
изображающая состояние системы точка движется по предельному циклу только
в одном направлении во времени (рис. 2.23). Траектория г = л/а не зависит
от начальных условий, и период движения по ней опре-
56
Глава 2
деляется внутренне параметром системы, а не начальными условиями, как в
случае гамильтоновых осцилляторов.
Прежде чем мы завершим этот раздел, представляет некоторый интерес
исследовать рекуррентные соотношения, задающие "нуль-пересечения"
предельного цикла с осью х\ (рис. 2.24) при стягивании цикла к
асимптотическому значению радиуса rM = Va (более подробно об этом см. в
гл. 6). По существу нас интересует скорость сходимости. Из основного
уравнения, записанного в полярных координатах (см. уравне-
Рис. 2.23. Бифуркационная диаграмма для приведенного в тексте примера
Пуанкаре.
Рис. 2.24. Сходящаяся последовательность "пересечений с нулем" в примере
Пуанкаре, приведенном в тексте.
ния (2.2.70), (2.2.71)), получаем, разделив отдельно левые и правые
части,
dr ______ (аг - г3)
dtp
Р
(2.2.75)
Расстояние между двумя последовательными нуль-пересечениями равно
гп 2 Л
С dr If, 2it
J ar-r3 - ~ ft I PI '
(2.2.76)
или
1 I r
- In = =
a Via-1
2n
IN
(2.2.77)
откуда
r2 - _______________________________________
" 1 + exp (-4яа/Р) [(a/rn-i) ~ *]
(2.2.78)
Нелинейная динамика и статистическая физика
57
Сходимость экспоненциально быстрая; действительно, применяя
последовательно формулу (2.2.78) при п- 1, ..., п, получаем
Гп 1 + ехр (-4лан/| р|) [(а/г^) - l] ' ^ ' "79^
где г0 - произвольный радиус, с которого начался процесс, т. е. начальное
условие. Заметим, что при п-> <х> формула (2.2.79), как и следовало
ожидать, дает lim г2 = а независимо от го, т. е-
П оо
от начальных условий.
Приведенный выше пример--последний из выбранных нами представительных
классов, связанных с неустойчивостями, бифуркациями и эволюцией простых
одно- и двумерных нелинейных динамических систем как гамильтоновых, так и
диссипативных. Надеюсь, мы полностью оценили роль и значение нелинейности
в возникновении сложного поведения структурно простых систем. Теперь
уместно обратиться к явлениям, происходящим в системах с большим числом
степеней свободы; к этой группе, в частности, относятся все
крупномасштабные системы.
2.3. Элементы статистической физики и их связь с эволюционными явлениями
2.3.1. Некоторые характеристики стохастических систем
Хотя в предыдущем разделе мы познакомились с эволюционным (необратимым)
поведением простых нелинейных диссипативных двумерных систем
(претерпевающих бифуркацию Хопфа), было бы безосновательно утверждать,
что наш поиск предпочтительного (более вероятного) перехода в один из
многих возможных "аттракторов" за точкой потери устойчивости. Следующим
логическим шагом в нашем анализе должно было бы стать исследование
системы с тремя степенями свободы. Однако по причинам, которые станут
ясными из дальнейшего, в частности из гл. 6, мы намереваемся приступить
сейчас к рассмотрению другого предельного случая - систем со многими
степенями свободы в надежде, что нам удастся подметить какие-то
дополнительные особенности эволюции, не существующие в двумерном случае.
Системы со многими степенями свободы с необходимостью стохастические. В
свою очередь стохастические системы (макроскопические системы, динамика
которых определяется взаимодействием большого числа микроскопических
частей) де-факто иерархические в том смысле, что допускают дополни-
58
Глава 2
тельное описание (по крайней мере) на двух различных уровнях: (1) на
микроскопическом уровне, на котором очень большое число (порядка числа
Авогадро) частиц вступают во взаимодействие друг с другом на основе
гамильтоновой (обратимой) динамики, и (2) на макроскопическом,
феноменологическом уровне, на котором для многих (но не для всех)
практических целей система может быть описана небольшим числом
макропеременных (таких, как объем, давление, температура); эти
макропеременные возникают как коллективные свойства динамики,
происходящей на микроскопическом уровне, или как моменты функции
плотности вероятности, заменяющей микроскопическую динамику.
Здесь, как нам кажется, уместно рассмотреть в более или менее явном виде,
как происходят процессы усреднения, посредством которых происходит подъем
с более низкого (микроскопического) уровня на более высокий
(макроскопический) уровень. Нашу систему в пространстве состояний мы
представим в виде A-мерного вектора х, конец которого описывает
непрерывную кривую - траекторию - и в заданный момент времени t находится
