Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
заряжать емкость через сопротивление R.
Когда разность напряжений на С становится больше Vc2, переключатель
переходит в состояние "заперто" и конденсатор разряжается через
нелинейный элемент. Когда разность потенциалов на С падает ниже Vc"
переключатель переходит в состояние "открыто" и конденсатор начинает
снова заряжаться. Форма этого периодического, но сильно нелинейного
процесса
Рис. 2.21. Релаксационные колебания.
Нелинейная динамика и статистическая физика
53
схематически представлена на рис. 2.21. Ясно, что основной его период
зависит от параметров R, С, Vс" Vс,.
Можно сказать, что x(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
е (1 - х2) х + (о2л: = О,
(2.2.59)
где е - параметр, характеризующий интенсивность источника тока Е и кривую
отклика нелинейного переключателя. Описанный выше процесс реализуется в
знаменитом осцилляторе ван дер Поля. Эта модель более или менее точно
воспроизводит электронные генераторы (транзисторы и др.).
Проанализируем систему (2.2.59) с точки зрения устойчивости. Эволюция
системы во времени происходит в двумерном пространстве состояний (х, х).
Положим для простоты СОо = 1 и запишем (2.2.59) в параметрическом виде
X (t) ~ г (t) COS t,
(2.2.60)
-- г'л
Ы Предельный! цикл
y(t) = x (t) r {t) sin t\
Рис. 2.22. Предельный цикл.
второе соотношение подразумевает, что е -С 1, т. е. что амплитуда r(i)
изменяется со временем так медленно, что за полный период Ar/r < 1 (рис.
2.22).
Из (2.2.60), (2.2.61) получаем х2 -j- у2 = г2 и, дифференцируя обе части
тождества по времени, приходим к соотношению
dx
dt
I dy
+ уцг=г
dr
ИГ'
(2.2.62)
или, принимая во внимание уравнение (2.2.59) и используя представления
(2.2.60), (2.2.61),
или
откуда
dr
хУ + у[в{ 1 - г'2 cos2/) у - *] = /- - ,
-^г = е(1 - г2cos2t)r sin2/,
(2.2.63)
(2.2.64)
dr = zr{ 1 -r2cos2/) sin2tdt.
(2.2.65)
54
Глава 2
Но тогда изменение Дг за период равно
2Я
(2.2.66)
о
Заметим, что в приближении е <С 1
Дг < О при г > 2,
Дг > 0 при г < 2,
Дг = 0 при г = 2.
Из этого мы заключаем, что окружность радиуса г = 2 асимптотически
устойчива и в ее окрестности нет другого цикла. Такая устойчивая
траектория есть предельный цикл и принадлежит новой категории
стационарных особенностей в пространстве состояний, отличной от
стационарных особых точек.
Полученный нами результат по существу без изменений переносится на все
е>1 и е< 1. При возрастании е предельный цикл слегка деформируется,
напоминая по форме петлю гистерезиса. Можно показать [2.6], что при
возрастании е второе приближение дает стационарную амплитуду
х (0 ~ 2 cos (at -f- ¦&)-1- sin 3 (cot -f- ft), со = 1-e2/16. (2.2.67)
Еще одной (тривиальной) особенностью системы является, конечно, начало
координат, которое соответствует неустойчивому стационарному состоянию.
Переход от этого стационарного состояния известен под названием
"бифуркации Хопфа"^. В приведенном выше примере осциллятор
"само"возбуждается.
При более сильной нелинейности в вязкостном члене (с пятой степенью
вместо куба) стационарное состояние (0, 0) устойчиво, и уровень внешнего
возбуждения или, в интересующем нас случае, значение управляющего
параметра е, должны превышать определенный порог для того, чтобы система
могла совершить необратимый переход из начала к предельному циклу (более
подробный анализ этого перехода см. в приложении А).
Рассмотрим под тем же углом зрения другой представительный пример из
работ самого Пуанкаре. Дана следующая система:
с тривиальным стационарным состоянием х\ = х2 = 0.
о В отечественной литературе принят термин "бифуркация Андронова -
Хопфа". - Прим. перев.
= ахх + fix2 - Х\ (х\ + Хп),
(2.2.68)
-Р*! + алг2 - х2 (я? + xf)
(2.2.69)
Нелинейная динамика и статистическая физика
55
Пусть ал = г cos ф и = г sirup. Подставляя Ai и х2 в исходные уравнения,
получаем систему относительно г и ф:
-g- = ar-r3, (2.2.70)
4г=-р- (2-2-71>
Из уравнения (2.2.71) непосредственно следует, что ф(/) =
= фо- р/.
Обратимся теперь к уравнению (2.2.70) и определим стационарные
состояния; полагая dr/dt = 0, получаем г\ = 0,
г2 - л/а (а > 0). В пространстве состояний эти два решения соответствуют
началу координат и предельному циклу с центром в начале координат и
радиусом л/а, по которому движение происходит с угловой частотой р.
Линеаризованная система имеет вид
dr/dt = or, (2.2.72)
dy/dt = -$. (2.2.73)
Из уравнения (2.2.72) ясно, что при а < 0 стационарное состояние (0, 0)
устойчиво и при а > 0 оно становится неустойчиво (при ас = 0 стационарное
состояние нейтрально устойчиво). Попытаемся выяснить, что произойдет в
закритической области при a > ас = 0, т. е. исследуем замкнутую
траекторию г = л/а на устойчивость.
Придадим траектории небольшое возмущение, полагая г = л/а-{-дг.
Подставляя в уравнение (2.2.70),-получаем
дг - а (Va + дг) - (a3/2 -j- 6г3 + 3 л/а дг'1) "
а (Vа + дг) - (а3/2 + Забг) == -2а6г. (2.2.74)
Тем самым мы заключаем, что траектория г = л/а асимптотически устойчива,
