Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
где звездочка означает, что численные значения производных следует брать
при = К3В/К2 и У* = К^А/К*-
Из характеристического уравнения (2.2.39) находим
А = ± VК1К3АВ. (2.2.52)
Это означает, что стационарное состояние / нейтрально устойчиво и, когда
система под действием слабого возмущения покидает это состояние, она
переходит на периодическую траекторию, размеры которой определяются
величиной возмущения, и описывает ее с циклической частотой, равной
д/К1К3АВ (дви-
Рис. 2.17. Устойчивые режимы реакторной модели. Стационарное состояние -
Yj, У j нейтрально устойчиво, а стационарное состояние Ajj, Уц
неустойчиво.
48
Глава 2
гаясь в пространстве состояний, где значения переменных растут от начала,
всегда по часовой стрелке).
Стационарное состояние II. Производя анализ, аналогичный проделанному
выше, но вычисляя теперь значения производных в точке Х'п = О, У*j = 0,
получаем
Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид
Стационарное состояние (0, 0) (к счастью для экологии!) неустойчиво (как
мы увидим из дальнейшего, эта особая точка - седло).
2.2.8. Поведение двумерной динамической системы
в окрестности особых точек (стационарных состояний)
Теперь нам необходимо взять, так сказать, увеличительное стекло и
попытаться разглядеть (опять-таки в первом приближении), как именно ведет
себя система в окрестности особой точки и, в частности, неустойчивого
состояния. Причина такого исследования состоит в следующем. Как только
данное состояние, бывшее до того устойчивым, становится неустойчивым при
превращении одним из управляющих параметров ц некоторого критического
значения (так что через численные значения коэффициентов взаимодействия
a-у, зависящих от ц, действительная часть одного из собственных значений
становится положительной), возникает вопрос: в какое состояние при этом
переходит система? Чтобы ответить на него, нам необходимо снова решить
систему связанных нелинейных алгебраических уравнений fi(X 1, Х2, ...,
XN\ ц) = 0 и тем самым найти новую систему действительных решений (новый
набор стационарных состояний), так как параметры ц изменились. В новый
набор, разумеется, входит стационарное состояние, бывшее прежде
устойчивым, а теперь ставшее неустойчивым, но остальные состояния новые.
На первый взгляд может показаться справедливым следующее утверждение:
"стартовав" из стационарного состояния, система равновероятно
"приземлится" в любом из состояний нового набора, тем самым делая
невозможным любое предсказание ее поведения. Однако так происходит не
всегда. Для того чтобы разобраться, как ведет себя система,
Пц - К\ А, а12 - 0, a2i = 0, а22 = К3В.
(2.2.53)
(KH-X)(K3B + X) = 0, и собственные значения оказываются равными
0 и Х2 = -Х3В 0,
(2.2.54)
Нелинейная динамика и статистическая физика
49
необходимо рассмотреть более подробно "картографию" пространства
состояний в окрестности каждого нового состояния. Как мы убедимся, одного
этого не достаточно.
В результате проведенного расследования может оказаться, что одни
состояния имеют большую вероятность "заполучить" систему после того, как,
будучи выведенной из прежнего состояния, она вынуждена будет
"приземлиться" в каком-то новом состоянии. Короче говоря, нам необходимо
исследовать "линии тока" в окрестности всех имеющихся стационарных
состояний в пространстве состояний в надежде, что это позволит нам
оценить вероятность следующего предсказания. По существу мы именно этим и
занимаемся, когда проводим сечения на потенциальных кривых, например на
кривых, изображенных на рис. 2.13, перпендикулярно плоскости страницы, а
затем, рассматривая линии уровней, оцениваем сеть дорог на обозреваемом
ландшафте. В свою очередь это сводится к построению интегральных кривых
Х2 = f(Xl) консервативной системы, когда потенциальная функция известна.
Поскольку нас интересуют (гамильтоновы) системы с многими стационарными
состояниями, нам следует начать с потенциальной функции, имеющей более
одного минимума (рис. 2.13), и попытаться понять, как извлечь из нее ход
интегральных кривых, т. е. "дорожную сеть", в фазовом пространстве.
В случае примера с вращающимся маятником (раздел 2.2.5) мы можем сразу же
выписать уравнения для множества интегральных кривых в пространстве
состояний - плоскости (Ф, О) - как закон сохранения энергии на единицу
массы, а именно:
т(4г)2+У^' ^) = Е> (2-2.55)
где Е - полная энергия маятника.
Наша цель - определить топологию интегральных кривых в окрестности
минимумов (устойчивых стационарных состояний) и максимумов (неустойчивых
стационарных состояний). Для этого разложим У (ft, р) в ряд Тейлора в
окрестности минимумов и максимумов, т. е. запишем разложение
l/(fl) = l/0 + -|-(fl -Ао)2, (2.2.56)
где с - [d2y(ft)/dft2] о - положительное число, если У о [= F(fto)] -
минимум, и отрицательное число, если У0 - максимум. Ясно, что в обоих
случаях [дУ (ft)/dft] о = 0, так как мы имеем дело с экстремумами.
Воспользовавшись приведенным выше разложением, нетрудно исследовать
