Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 20

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 187 >> Следующая

Затем мы переходим к исследованию устойчивости этих состояний (система
находится в них в зависимости от начальных граничных условий).
Устойчивость мы исследуем, вводя малые возмущения Xi(t) от положения
равновесия, а именно возмущения, удовлетворяющие ограничениям
*;(/) = |Х<-Х;(/)|<е,
где е - произвольное положительное число при всех ?.
Для данного стационарного состояния мы разлагаем правые нелинейные части
динамических уравнений в ряд Тейлора относительно стационарного значения
отдельной переменной (или соответственно стационарных значений
переменных, если их несколько) и, если функции /; достаточно гладкие,
удерживаем в разложении только линейные члены. Мы получаем
тг:= Z (*/-¦"> (§г\ • <2-2-34"
/=1 / 1
[Свободный член разложения Тейлора равен нулю:
fi{Xu XI, ..., Xh ц) = 0, так как dXydt = 0.]
Обозначим через
(2'2'36)
параметр (или параметры) взаимодействия, описывающий влияние переменной
X,- на переменную X/ (разумеется, в общем случае ацфац). Помимо прочего
равенство а,/ = 0 может указывать на отсутствие переменной X,- в
многочлене fi. Элементы а,-,- образуют так называемую матрицу
взаимодействия А.
Линеаризованная система дифференциальных уравнений с возмущениями х,(?) в
качестве неизвестных функций имеет теперь вид
Нелинейная динамика и статистическая физика
45
ИЛИ
х = Ах.
(2.2.36)
Выбирая возмущения Xi(t) отдельных переменных в виде
"К t
Х{ (t) ~ е 1 , получаем линейную систему
N
¦/>
1=1
или в матричной форме
Хх~Ах. (2.2.37)
Требование нетривиальности решений [х;(0#0] приводит к
характеристическому уравнению
йц - X а12 .. ¦
Я21 Я22 Я. ... Я2дг
X
=0,
(2.2.38)
Я/Vl Яд,2
из которого в принципе могут быть вычислены собственные значения Xi
матрицы взаимодействия. В поисках более конкретных примеров обратимся к
нашей двумерной системе. Ее характеристическое уравнение имеет вид
Яп X flj2
Я21 я22 X
= 0,
(2.2.39)
или
(яп X) (я22 X) я[2я21 = 0,
X2 - (яп + я22) X + (яцЯе2 я12я21) = 0, которое можно представить в виде
X2 - ЬХ + у = 0.
Собственные значения нетрудно вычислить по формуле
, Ъ ± VЬ2 - 4у
Я-1,2- 2 •
(2.2.40)
(2.2.41)
(2.2.42)
(2.2.43)
В общем случае мы получим Xi, 2 =(Х' + jX") 1,2.
Возникающее стационарное состояние устойчиво, если Re{X,} < 0 при t=l и i
- 2. Если Х\ или Х'2 положительны, то стационарное состояние неустойчиво.
Е1ри Х[ = Х'2 = 0 и X" ф 0 мы имеем режим на границе области
устойчивости, или нейтральную устойчивость; иначе говоря, система
совершает
46
Глава 2
периодическое движение с частотой %" по замкнутой траектории вокруг
стационарного состояния, причем радиус траектории, разумеется, мал, но
зависит от начальных и граничных условий. Вместо того чтобы проводить
исчерпывающее перечисление всех возможных случаев в зависимости от
параметров b и у, приведем конкретный пример, дабы все говорило само за
себя.
Рассмотрим следующий процесс, в котором возникает конфликт между двумя
популяциями Xt и Х2 или X я У. Сырье А, смешиваясь в "реакторе" с
популяцией X, увеличивает численность этой популяции (X растет на А).
Популяция У питается популяцией X и растет. Наконец, популяция Y, вступая
в кон-
С
Отходы
Рис. 2.16. Реактор для двух взаимодействующих веществ X, Y.
такт с катализатором, или "метаболитом", В, превращается в отходы (рис.
2.16).
Такая схема применима к процессам производства в условиях конкуренции, а
также к биологическому антагонизму между двумя видами, один из которых
является хищником, питающимся другим видом (такова, например,
предложенная Воль-
террой - Лоткой модель двух видов - "маленьких" рыбок X
и "больших" рыб У). Реакции должны протекать следующим образом:
А + X 2Х, (2.2.44)
X + Y 2У, (2.2.45)
X + В ^ С + В, (2.2.46)
где К\, К2, Кг - константы скоростей реакций.
Соответствующие дифференциальные уравнения относительно X и У могут быть
выведены непосредственно на основе подсчета приращений и убылей
численности каждой популяции. Например, X возрастает со скоростью К\АХ и
убывает со скоростью K2XY, поэтому
,ц|||1гщгнп11Г1щм"(Т1Ч1,г,тпи11И1ь
Реактор [X.Y3 ф
rfnn
'ШШПШШШМГТШГПГИШГГ
тгрттште"
Метаболит
(катализатор)
XA-^KxAX-KiXY.
(2.2.47)
Нелинейная динамика и статистическая физика
47
С другой стороны, У возрастает со скоростью K2XY и убывает со скоростью
K3BY, поэтому
= K2XY - K3BY. (2.2.48)
В этом примере нелинейные правые части - многочлены - имеют вид
/, =KiAX - K2XY и f2 = K2XY -K3BY.
Параметры К\, К2, К3, А, В стоят здесь вместо управляющих параметров р. в
формальных уравнениях (2.2.32).
Определим стационарные состояния. Решая систему уравнений /1 = 0, /2 =
0, мы
находим два вещественных решения
ri=JTT' (2'2'49)
= ^1 = 0, (2.2.50)
которые представлены на рис. 2.17.
Исследуем каждое из них на устойчивость.
б) Конкретный анализ Стационарное состояние I. Требуется вычислить
собственные значения матрицы А линеаризованной системы, что сводится к
вычислению коэффициентов ац. Получаем
а"=(|г).=0' = (2-2'51)
а21 = (1г). = /с,Л* а22 = (1г), = 0-
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed