Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
существующего состояния, а гистерезисом, или пластической модификацией, в
системах, обладающих единственным стационарным состоянием [2.4].
Рассмотрим одномерную систему X (например, линейный осциллятор с сильным
затуханием), описываемую дифференциальным уравнением х =-х. Очевидно, что
эта система обладает единственным ("симметричным") устойчивым стационар-
Vtfj
± arccos
(2.2.24)
Нелинейная динамика и статистическая физика
41
ным состоянием х = 0. Представим себе, что мы связали эту простую систему
с "окружающей средой" Y, также одномерной, единственная переменная у
которой сдвигается управляющим параметром среды а следующим образом:
dy/dt = а, где a(t) = = const (или 0) при всех t, предшествующих
интервалу времени длиной 2Т, на котором параметр а, так сказать,
"активируется" (рис. 2.14), а затем снова спадает до нуля. Будем счи-
aW-t, 0<"Т
a(tjs2T~t, T^t<2T aW.= 0, t<05>2T
Рис. 2.14. Параметр a{t) (см. текст).
тать, что система X связана с окружающей средой простейшим из возможных
способов, а именно: dx/dt = •-х + у.
а) Интервал [0, Т]: dx/dt = -х + у, dy/dt = t, da/dt = 1, поэтому
t2
dx/dt = -x + -g-, x (t) = ce * -)-2--^ + 1> (2.2.25)
где с - константа.
При t - Т (середина интервала)
х(Т) = се~т + 'Ц--Т+ 1,
Т1
у(Т) = V
б) Интервал [Т, 2Т]: dx/dt = -х + у, dy/dt = 2Т-t,
da/dt = -1, поэтому
¦§• = -* + 277-4 + *,
где К - константа, значение которой вычисляется из условия,
42
Глава 2
что величина y = 2Tt- (t2/2)-{-K при t=T должна быть равна Р/2;
следовательно, К = -Р и
x(t) = Ce-*--Y + t{2T+ 1) - (2 Г + Р+ 1) =
= ce-*?- + t(2T +1)-(7+ l)2; (2.2.26)
но тогда
у (0 = 27Y - - Р. (2.2.27)
В конце интервала 2Р у(2Т)== Т2. При t > 2Т величина г/(2Г) остается
неизменной. Таким образом, при t > 2Т поведение которое всегда задается
дифференциальным уравнением х - = -х у, описывается разновидностью
последнего - дифференциальным уравнением
dx .
чг = -Х + т
и имеет устойчивое стационарное состояние х*= Р, отличное от предыдущего
стационарного состояния. Что же произошло? Как именно исчезло предыдущее
стационарное состояние и уступило место новому? В данном случае мы имеем
дело с примером "пластического" изменения, вызванного в системе X не
потерей устойчивости, приводящей к бифуркации, а переходным процессом,
происходящим с конечной "скоростью реакции". В системе X произошло
следующее: стационарное состояние х* = 0 было стерто, а количество у = Р
"реагирующего вещества" у оказалось навсегда записанным в системе, что
можно рассматривать как аналог "следа в памяти", оставленного в системе
локальным отклонением внешнего управляющего параметра от исходного
значения.
2.2.7. Основные понятия теории устойчивости
В нескольких предыдущих разделах мы занимались рассмотрением отдельных
(хотя, как мы надеемся, представительных) примеров эволюции, происходящей
в простых нелинейных системах вследствие тех или иных конкретных
неустойчивостей. Теперь настало время набросать в общих чертах контуры
общей теории устойчивости. Следует подчеркнуть, что нас всегда будет
интересовать только двумерное пространство состояний.
а) Общий критерий
Пусть S - стационарное состояние некоторой двумерной динамической системы
и е - малый замкнутый контур вокруг S. Стационарное состояние S
называется устойчивым, если для любого заданного е всегда можно найти
такую окрестность 6(e)
Нелинейная динамика и статистическая физика
43
состояния S, что любая траектория, выходящая изнутри 6(e), никогда не
достигает границы е (рис. 2.15). Если же такой окрестности 6(e) не
существует, то устойчивость 5 не гарантирована [2.5].
Рассмотрим теперь динамическую систему, описываемую двумя связанными
автономными нелинейными дифференциаль-
Рис. 2.15. К определению устойчивости стационарного состояния.
ными уравнениями (автономность означает, что время не входит в уравнения
в качестве свободного параметра):
dX,
dt
dX2
dt
¦fi(Xy x2, p),
¦h(Xb X2; p).
(2.2.28)
(2.2.29)
Система эволюционирует в двумерном пространстве состояний переменных Хи
Х2. В каждой точке траектории, заданной выбором конкретных начальных
условий Лл(0) = Лл0, Х2(0) = Х2" наклон определяется величиной
/г
dX 2 dX 1 - f,
(2.2.30)
Особые точки (стационарные состояния) на траектории - это точки, в
которых f2 - 0 и fi=0, т. е. не определена касательная. С другой стороны,
замкнутые траектории (см. ниже), соответствующие периодическому режиму,
имеют основной период, определяемый по формуле
dX{
/, (Хь Xг; ц) '
(2.2.31)
Предположим ненадолго, что мы рассматриваем ^-мерную систему. В этом
случае динамические уравнения имеют вид
dXi
dt
¦fAXy Х2, ..., XN-, ц), i'e(l N). (2.2.32)
44
Глава 2
Стационарные состояния определяются вещественными решениями системы
связанных нелинейных алгебраических уравнений
МХ" X XN', р) = 0. (2.2.33)
Предположим, что мы каким-то образом решили эту систему и нашли
стационарные состояния (X*, X*, .. ., Х^) , где
^е(1, ..., К)-число действительных решений системы (2.2.33).
