Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1.
При моделировании на компьютере мы выбрали два различных значения
амплитуды нормированного поля Е = 10 и Е - 1 и 23 значения угловой
частоты со для каждой Е, т. е. со/соо от 0,1 до 2 с шагом 0,1 и затем
2,5; 3 и 10, или нормированную расстройку на входе у = 0; +0,1; ±0,2;
..., +0,9; 1; 1,5; 2,9. Таким образом, всего мы прогнали нашу программу
46 раз. На графопостроителе нашего компьютера мы получили соответствующие
траектории на плоскости (ф, ф) и построили кривые x(t). Приведем здесь
лишь одну группу построенных кривых.
На рис. В.2-В.4 кривые соответствуют Е - 10 + На рис. В.2 показаны
траектории на плоскости (ф, ф) при отрицательной расстройке на входе, т.
е. при со/соо < 1. Заметим, что при 0,4 < < со/со0 < 1 происходит захват
частоты, так как траектории стремятся к предельным циклам. Это -
свободная синхронизация, т. е. частота захвачена, но имеется фазовая
модуляция (дергающаяся фаза). Рассогласование по фазе ф остается огра-
>> Аналогичные результаты получаются и при Е = 1. Различие состоит лишь в
том, что с уменьшением Е растяжение траекторий становится менее заметным.
Приложения
471
u>0
Е = 10 ' =0,2
Рис. В.2. Траектории на плоскости (<р, ф) при Е = 10, со/а>о < 1.
Отношение со/соо равно: а) 0,8; б) 0,6; в) 0,4 и г) 0,2.
472
Приложения
ниченным; например, при со/соо = 0,6 рассогласование по фазе заключено в
пределах -1,2 < ф С -0,35. При и/соо < 2 мы наблюдаем свободно бегущие
колебания, т. е. синхронизация нарушается.
б
Рис. В.З. Траектории на плоскости (ф, ф) при Е = 10, 1 < со/соо < 0.
Отношение со/со0 равно: а) 1,2; б) 1,4; в) 1,6; г) 1,8.
Мы видим, что в нашем случае, когда в 1 ("маятникоподобные" колебания)
существует максимальное значение 0 < < Уе < 1 (Уе зависит от Е, р и (о0),
такое, что при -уе < у < С 0, или (1 -уе) "о < (о < (о0, происходит
синхронизация, а при у <-уе, т. е. (о С (1 - уе)(Оо возникают свободно
бегущие колебания. [Отметим, однако, что при значениях е 1 (переход
ф (р
90
GO
70
60
50
40
30
20
10
О
10
20
Рис.
70 90 110 130 150 170 190
•е (рад)
Ф (рад/с) 200г
200
400
600
800
1000
I 200
100
"О
Е = 10
= 10
200
300
U
400
?>(р:
В.4. Траектории на плоскости (ф, ср) при Е = 10, <о/(о0 53= 3. Отношение
<о/со0 равно:
а) 3; б) 10.
474
Приложения
от маятника к релаксационным колебаниям) может наблюдаться и
субгармонический захват частоты.]
На рис. В.З, В.4 показаны фазовые диаграммы при 1 -< < со/соо <2 и со/соо
^ 3. При 1= со/соо ^1,4 происходит синхронизация (рис. В.З, а, б), в то
время как при со/со0 < 1,6 устанавливаются свободно бегущие колебания.
Существует верхний предел уи, такой, что при 0 < у < уа синхронизация
происходит, а при у >¦ уи устанавливаются свободно бегущие колебания.
Сравнивая рис. В.2 и В.З для противоположных значений у, мы замечаем
асимметрию в форме, размерах и расположении предельных циклов. Область
синхронизации -уе < у < уи несимметрична относительно нуля (уе >уи).
Почти в чистом виде свободно бегущие колебания наблюдаются при увеличении
расстройки со/соо (рис. В.4).
Наконец, зависимость ф =f(t) была вычислена, чтобы оценить время
установления синхронизации. На рис. В.5 видно, что "время синхронизации"
равно нескольким собственным периодам Т0 - 2л/(0о при Е = 10 и со/соо =
0,8.
Литература''
Глава 2
2.1. Narlikar J., The Structure of the Universe, Oxford University Press,
Oxford, 1977.
2.2. Dyson J., Sci. Am., 226, 184 (September 1971). [Имеется перевод:
Дайсон Ф. Математика в физических науках. - В кн.: Математика в
современном мире.-М.: Мир, 1967, с. 111-127.]
2.3. Haken Н., Synergetics: An Introduction, 3rd ed., Springer
Ser. Synergetics, Vol. 1, Springer, Berlin, Heidelberg,
1983. [Имеется перевод: Xa-
кен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980.]
2.4. Rosen R., Bull. Math. Biol., 38, 87 (1976).
2.5. Hahn W., Theory and Application of Lyapounov's Direct Method, Pren-
tice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1963.
2.6. Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. Изд. 4-е, испр. и доп. - М.: Наука, 1974.
2.7. Bennet С., Int. J. Theor. Phys., 21, 905 (1982).
2.8 .Davies P. С. W., The Physics of Time Asymmetry, University of
Cali-
fornia Press, Berkeley, CA, 1977.
2.9. McMurtrie R. E., J. Theor. Biol., 50, 1 (1975).
2.10. Chaitin G., Sci. Am., 230, 47 (May 1975).
Глава 3
3.1. Wheeler L. A., Feynman R., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945).
3.2. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. Изд. 2-е, доп. и перераб.
- М.: Наука, 1973.
3.3. Gabor D., Light and Information. - In: Progress in Optics, 1, 503
(North-
Holland, Amsterdam, 1961).
3.4. Gabor D., Philos. Mag., 41, 1161 (1950).
3.5. di Francia G. Т., Opt. Acta, 2, 5 (1955).
Глава 4
4.1. Hamming R. W., Coding and Information Theory, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N. Y., 1980.
4.2. Beckmann P., Probability in Communication Engineering, Harcourt
Brace and World, New York, 1967.
4.3. Forney G. D., Concatenated Codes, MIT Press, Cambridge, MA, 1966.
