Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Б.4. Контроллер
Механизм упреждающего управления для каждой системы имеет в качестве
входных сигналов афферентные сигналы - вероятность пребывания в области
гомеостаза и и корреляцию г,
Контроллер
Рис. Б.1. Модель переменных состояния для двух сообщающихся иерархических
систем.
а также вектор состояния W! верхнего уровня W. Таким образом, уравнения
состояния для контроллера имеют вид
Vl = 4i (vj, w,, и, г),
где gi - вектор-функция, которую требуется определить так, чтобы целевая
функция (совместная добротность) F была максимальной. Функция F
определяется следующим образом:
'F='F1'F2 (мультипликативный критерий),
где
^'1 = Л,?[ы1] + (1 -Л,)?[г,],
2 - [^2] 4" О - ^2) Е [г2]
при Хь Х2 <= (0, 1), или
= а+ сг2^~2 (аддитивный критерий).
Для мультипликативной добротности характерно сильное предпочтение
паритета между партнерами, в то время как ад-
Приложения
465
дитивный критерий "уравнивает в правах" и паритет между партнерами, и
полное господство опорного партнера над другим.
Для простоты в работе, о которой сообщалось в разд. 4.7, мы квантовали
пространство состояний на каждом иерархическом уровне и рассматривали
только конечное число состояний, соответствовавших наиболее характерным
чертам данного уровня. Так, стохастические нелинейные дифференциальные
уравнения, соответствующие непрерывному описанию состояния, при таком
подходе заменяются на всех иерархических уровнях марковскими цепями с
дискретным временем, задаваемыми матрицами перехода Рц, полностью
описывающими переходы между возможными состояниями систем на уровнях
W(W') и Q(Q') (рис. Б.1).
В. Шумовая синхронизация слабо нелинейного релаксационного осциллятора
под действием внешнего гармонического возбуждения
В.1. Общее описание модели
Наиболее характерным параметром незатухающих (нелинейных) диссипативных
колебаний является количество энергии, которой обменивается совершающая
колебания система с окружающей средой. Если взаимодействие между
осциллятором и внешним возбуждением мало (как в "маятникообразиом"
осцилляторе), то в каждый период колебаний запас энергии может измениться
лишь на малую величину, и полное изменение занимает много периодов. С
другой стороны, если взаимодействие велико (как в релаксационных
колебаниях), то полное изменение запаса энергии происходит всего лишь за
несколько периодов.
В этом приложении мы примем модель незатухающих колебаний (например,
модель биологических ритмов) простого генератора ван дер Поля
^ - со0е(1 - ?>х2)~ + <й20х = (r)20Е cos соt, (В. 1.1)
на который воздействует гармонический ритмоводитель с (постоянной)
амплитудой Е и частотой со ф 0 (Дсо = со - соо). Коэффициент б указывает
на интенсивность обмена энергией. При г <С 1 генератор принадлежит к
числу "маятникообразных", при е 1 мы имеем релаксационные колебания.
В чисто маятниковых колебаниях частота соо не зависит от всех внешних
влияний, но амплитуда колебаний изменяется в
466
Приложения
зависимости от изменяющихся условий окружающей среды. С другой стороны, в
чисто релаксационных колебаниях амплитуда колебаний не зависит от всех
внешних воздействий, тогда как частота изменяется в значительной степени
в зависимости от изменяющихся внешних условий. Из известных свойств
биологических ритмов можно заключить, что "самозаводящиеся" биологические
часы должны занимать промежуточное положение между двумя предельными
типами - "маятника" и "релаксационными колебаниями".
Ниже мы будем считать, что е = 0,1 и р = 0,1.
В.2. Метод исследования синхронизации
Для изучения процессов синхронизации в нелинейных осцилляторах с внешним
гармоническим возбуждением мы воспользуемся здесь методом, основанным на
исследовании траекторий на плоскости (dcp/dt, ф), где ф - мгновенная
разность фаз между ритмоводителем и осциллятором. Этот метод довольно
абстрактен и сосредотачивает внимание на основных, наиболее важных
особенностях интересующей нас задачи.
Одного лишь взгляда на траектории в плоскости (ф, ф) достаточно, чтобы
определить наступление синхронизации (жесткой или "свободной") или ее
отсутствие. Из множества различных траекторий мы можем выделить в общем
случае четыре характерных типа.
В.2.1. Жесткая синхронизация
Внешне она проявляется как подавление автопериодического колебания (рис.
В. 1а). В этом случае при любых начальных условиях ф(0),ф(0) осциллятор в
конце концов синхронизируется с внешним возбуждением, и устанавливается
постоянная разность фаз Ф. В нелинейной диссипативной системе такая
вынужденная "гармонизация" ангармонических колебаний сводится к их
подавлению и может быть достигнута при весьма больших значениях Е\ этот
случай не представляет для нас физического интереса.
В.2.2. Свободная, или "дергающаяся", синхронизация
В этом случае при любом начальном условии разность фаз становится
зависящей от времени, но остается ограниченной, и траектория в плоскости
(ф, ф) выходит на предельный цикл (рис. В.1,6). Этот предельный цикл
соответствует свободной синхронизации: осциллятор, хотя и затянут на
